سلام دوست عزیز,
ابتدا مجموعه های زیر را تعریف کنید:
$$A=\left\{x\in X: f(x) > 1\right\}$$
$$B=\left\{x\in X: f(x) < 1\right\}$$
$$C=\left\{x\in X: f(x)=1\right\}$$
بوضوح داریم:
$$A\cup B\cup B\cup C=X$$
بنابراین می توان نوشت:
$$\lim_{n \rightarrow \infty } \int_X f^{n} d \mu = lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu $$
حال به برسسی تک تک انتگرال ها روی مجموعه های تعریف شده می
پردازیم.
بوضوح داریم:
$$\lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu = \mu \big( \lbrace x \in X:f(x)=1\rbrace \big)$$
و همچنین با ستفاده از قضیه همگرایی تسلطی داریم:
$$lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu =0$$
و در انتها طبق متنهایی بودن حد و قضیه همگرایی یکنوا داریم:
$\mu(A)=0$
که سرانجام می توانیم نتیجه بگیریم:
$$\lim_{n \rightarrow \infty } \int f^{n} d \mu = \mu \big( \lbrace x \in X:f(x)=1\rbrace \big)$$
ویرایش 1:
روی مجموعه $B$ تعریف کنید
$g_n=f^n$ که بوضوح $g$ تابع از بالا کراندار می باشد و کران بالای تابع که $1$ هست که انتگرال پذیر است و
$g_n \to 0$
پس قضیه همگرایی تسلطی داریم:
$$lim_{n \rightarrow \infty } \int_B f^{n} d \mu = \int_B lim_{n \rightarrow \infty } f^{n} d \mu=0$$
ویرایش 2:
برای قسمت بعدی
روی مجموعه $A$ تعریف کنید
$g_n=f^n$ که بوضوح $g$ تابع از اکیدا صعودی می باشد و سوپریمم تابع که $\infty$ هست ,
$g_n \to \infty$
پس قضیه همگرایی یکنوا را میتوانیم استفاده کنیم که داریم:
$$lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu =\infty$$
که این با متنهای بودن حد زیر در تناقض است بنابرین اندازه مجموعه
$A$ صفر میباشد یا سرعت میل کردن ان بیشتر از $f^n$ که در هر دو حالت داریم.
b مقدار ثابت است.
$$
\infty>
b=
\lim_{n \rightarrow \infty } \int_X f^{n} d \mu = lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+lim_{n \rightarrow \infty } \int_C f^{n} d \mu
$$
$$=
lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu+a
$$
$$= \int_X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n} d \mu +a
$$
به خلف فرض کن
$\mu(A)$ صفر نباشد بنابرین داریم :
$
\int_X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n}\to \infty
$
که نشان می دهد
$a+\infty=b
$
نتاقض است با منتهای بود $b$ بنایرین:
$$\mu(A)=0$$
و در نتیجه:
$$
\lim_{n \rightarrow \infty } \int_A f^{n} d \mu = \int _X lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A) f^{n} d \mu =0
$$
