به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
62 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

فرض کنید : $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ و $a\in {A}$ حالا اگر تابع $f$ در نقطه $a$ مشتق پذیر نباشد و پیوسته هم نباشد . آگاه چه اطلاعاتی از اطراف آن نقطه میتوان بدست آورد . یعنی اینکه بگوییم وجود دارد یک همسایگی در اطراف نقطه $a$ به طوری که (...........) .

و اینکه فرض کنید $f'(a)\neq\pm \infty$

آیا میتوانیم نتیجه بگیریم که نقطه $a$ اکسترمم نسبی نیست ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

از اینکه یک تابع در یک نقطه نه پیوسته و نه مشتق‌پذیر است بدون هیچ فرض دیگری، هیچ نتیجه‌ای نسبت به پیوستگی و مشتق‌پذیری‌اش در همسایگی محذوفش نمی‌توان گرفت. حتی در مورد اکسترمم بودنش نیز همینطور. برای نمونه تابع را در صفر، یک و در غیر صفر، صفر تعریف کنید. در صفر نه مشتق‌پذیر است و نه پیوسته (پیوسته‌نبودن، مشتق‌پذیر نبودن را نیز نتیجه می‌دهد). اما با این حال بیشینهٔ نسبی و مطلق است. برای ساخت مثال که کمینه شود کافیست در صفر به جای یک، منفی یک انتخاب کنید. این تابع با اینکه در صفر پیوسته نیست ولی در همسایگی محذوفش هم پیوسته و هم مشتق‌پذیر است.

برای ساخت مثالی که در هیچ همسایگی محذوف این نقطه پیوسته نباشد کافیست این ایدهٔ پرشی بودن را روی بازه‌های $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ پیاده کنید. برای اینکه نقطهٔ صفر کمینه یا بیشینه یا هیچ‌کدام شود نیز کافیست مقادیر تابع‌تان در این پرش‌ها را مناسب انتخاب کنید.

نتیجه اینکه از ناپیوستگی تابع در یک نقطه‌اش بدون داشتن هیچ اطلاعات بیشتری، چیزی از پیوستگی، مشتق‌پذیری در همسایگی‌اش درنمی‌یابید و همینطوری از وضعیت اکسترمم‌بودنش.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...