همسایگی در نقاطی که مشتق پذیر نیستن چگونه است .

Question

فرض کنید : $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ و $a\in {A}$ حالا اگر تابع $f$ در نقطه $a$ مشتق پذیر نباشد و پیوسته هم نباشد . آگاه چه اطلاعاتی از اطراف آن نقطه میتوان بدست آورد . یعنی اینکه بگوییم وجود دارد یک همسایگی در اطراف نقطه $a$ به طوری که (...........) .

و اینکه فرض کنید $f'(a)\neq\pm \infty$

آیا میتوانیم نتیجه بگیریم که نقطه $a$ اکسترمم نسبی نیست ؟

Answer 1

از اینکه یک تابع در یک نقطه نه پیوسته و نه مشتق‌پذیر است بدون هیچ فرض دیگری، هیچ نتیجه‌ای نسبت به پیوستگی و مشتق‌پذیری‌اش در همسایگی محذوفش نمی‌توان گرفت. حتی در مورد اکسترمم بودنش نیز همینطور. برای نمونه تابع را در صفر، یک و در غیر صفر، صفر تعریف کنید. در صفر نه مشتق‌پذیر است و نه پیوسته (پیوسته‌نبودن، مشتق‌پذیر نبودن را نیز نتیجه می‌دهد). اما با این حال بیشینهٔ نسبی و مطلق است. برای ساخت مثال که کمینه شود کافیست در صفر به جای یک، منفی یک انتخاب کنید. این تابع با اینکه در صفر پیوسته نیست ولی در همسایگی محذوفش هم پیوسته و هم مشتق‌پذیر است.

برای ساخت مثالی که در هیچ همسایگی محذوف این نقطه پیوسته نباشد کافیست این ایدهٔ پرشی بودن را روی بازه‌های $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ پیاده کنید. برای اینکه نقطهٔ صفر کمینه یا بیشینه یا هیچ‌کدام شود نیز کافیست مقادیر تابع‌تان در این پرش‌ها را مناسب انتخاب کنید.

نتیجه اینکه از ناپیوستگی تابع در یک نقطه‌اش بدون داشتن هیچ اطلاعات بیشتری، چیزی از پیوستگی، مشتق‌پذیری در همسایگی‌اش درنمی‌یابید و همینطوری از وضعیت اکسترمم‌بودنش.