چرا تابع $f(x)=x+\sin x$ افزایشی اکید است در حالیکه مشتق آن بزرگتر اکید از صفر نیست، بلکه بزرگتر یا مساوی صفر است.

Question

با سلام. چرا می‌گوئیم تابع $f(x)=x+\sin (x)$ اکیدا صعودی است؟ مگر مشتق آن بزرگتر مساوی صفر نیست؟ پس باید بگوییم صعودی است نه اکیدا صعودی، چون قضیه گفته اگر مشتق بزرگتر مساوی با صفر شد گوییم تابع صعودی است و اگر مشتق بزرگتر از صفر شد گوییم تابع اکیدا صعودی است.

Answer 1

سوال جالبی بود چون خیلی وقت‌ها به این نکته توجه نمی‌کنند که حکمی که مشتق و اکیدا یکنوایی را به هم مرتبط می‌کند یک طرفه است، در واقع آن حکم به صورت زیر است

در تابع پیوسته $f$، برای هر$x \in I$ اگر $f'(x)> 0$ آن‌گاه $f$ روی $I$ صعودی اکید است و اگر $f'(x) < 0$ آن‌گاه $f$ روی $I$ نزولی اکید است. ولی اگر $f'(x) \ge 0$ باشد، تابع$f$ ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر $f'(x) \le 0$ باشد، تابع$f$ ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.

پس با این توضیحات از این‌که تابع بالا اکیدا صعودی است نمی‌توان نتیجه گرفت $!!! ...f'(x)> 0$

Answer 2

تحت شرایط قضیه یکنوایی ( پیوسته بودن تابع روی $[a,b]$ و مشتق پذیر بودن روی $(a,b)$ ) اگر برای هر $x \in (a,b)$ داشته باشیم $f' (x)>0$ (یا کوچکتر از 0) و تعداد ریشه های مشتق ، متناهی و یا حتی نامتناهی شمارش پذیر باشد، یعنی این که ریشه های مشتق از هم جدا بوده و تشکیل یک بازه ی ممتد ندهند ، آن گاه بازهم تابع $f$ روی $[a,b]$ صعودی اکید(نزولی اکید) است. $f(x)=x+sinx \Rightarrow f' (x)=1+cosx=0 \Rightarrow cosx=-1 \Rightarrow$ $x=2k \pi + \pi$

همانطور که میبینید ریشه های مشتق جداازهم بوده پس تابع اکیدا صعودی است.

Answer 3

کاربر cb917@ توجه کنید که شرط لازم و کافی برای اکیدا صعودی بودن تابع پیوسته و مشتق پذیر f آن است که به ازای هر x در دامنه f داشته باشیم $f' (x)>0$ هم چنین اگر به ازای x هایی از دامنه f داشته باشیمم $f' (x)=0$ اما ′f در آن نقاط تغییر علامت ندهد آنگاه همچنان f اکیدا صعودی میباشد البته واضح است ک باید این چنین نقاطی بنا به فرمایش دوستموون OXIDE از هم جدا باشند(گسسته باشند) زیرا در غیر این صورت اگر مجموعه این x ها پیوسته باشد در این صورت تابع f دربازه مربوط به آنها ثابت خواهد بود و لذا اکیدا صعودی نیست .

در این تابع هم همین اتفاق افتاده یعنی مشتق f به ازای $x=2kπ+π$ صفر است اما در این نقاط هیچ تغییر علامتی برای تابع مشتق نداریم پس آهنگ تغییر در این نقاط تغییر نیمکند و تابع همچنان اکیدا صعودی است $\Box$

Comments

به زبان ساده ترمیتوان گفت شرط کافی اکیدا صعودی بودن در بازه I این است که مشتق در این بازه نا منفی باشد با شرط اینکه اگر صفر میشود این صفر شدن در نقاط شمارش پذیری صفر شود