نقاطی که در تابع $y=\sin^4x+\cos^4x$ اکسترمم موضعی دارند رو پیدا کنید

Question

اکسترمم های موضعی (نسبی) تابع زیر را بیابید :

$$y=\sin^4x+\cos^4x$$

Comments

آیابه سوالشون جواب بدیم؟

---

مشکل من اینجاست که نمیتونم در اینجا تایپ کنم. تو سایت هایی مثه mathway.com به راحتی میشه مسائل ریاضی رو تایپ کرد

---

@Amir_ah پس چگونه بقیه در حال تایپ ریاضی در این سایت هستند؟

---

@Amir_ah عزیز
به محفل ریاضی خوش آمدین.
این صفحه رو خواندید:
http://math.irancircle.com/52/راهنمای-تایپ-ریاضی-mathjax-به-کمک-آیکون-های-موجود
و یا کلا این چند مطلب رو بخونید:
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ

---

روش کلی پیدا کردن نقاط اکسترمم مشتق گیری از تابع و مساوی صفر قرار دادنشه و جواب معادله جدید نقاط اکسترمم رو میده و در ضمن بهتره این سوال رو در تگ دبیرستان بزارید نه دانشگاهی

Answer 1

در این تابع نقاط اکسترمم موضعی همان حداکثر و حداقل تابع است:

$$f(x)= sin^4x + cos^4x = (sin^2x+cos^2x)^{2} -2sin^2 x.cos^2 x$$ $$=1-2(sinx.cosx)^2$$ $$=1-2( \frac{sin(2x)}{2} )^2$$ $$=1- \frac{sin^2(2x)}{2}$$ و چون $sin^2(2x)$ بین 0 و 1 است. پس داریم: $$1- \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1- \frac{0}{2}$$ پس حداکثر و حداقل تابع وقتی است که تابع به ترتیب برابر با $1$ و $\frac{1}{2}$ باشد. پس باید معادلات زیر را حل کنیم: $$1- \frac{sin^2(2x)}{2}=1 \Rightarrow sin(2x)=0 \Rightarrow 2x=k \pi \Rightarrow x= \frac{k \pi }{2}$$ $$1- \frac{sin^2(2x)}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow sin(2x)= \pm 1 \Rightarrow 2x=2k \pi \pm \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x=k \pi \pm \frac{ \pi }{4}$$ پس جواب به یکی از دو صورت بالاست.

Answer 2

با توجه به نامساوی زیر :

$$\frac{1}{2^{n-1}} \leq \sin^{2n} x+ \cos^{2n} x \leq 1$$

اثبات نامساوی

---

خواهیم داشت :

$$\frac{1}{2} \leq \sin^{4} x+ \cos^{4} x \leq 1$$

---

Answer 3