اگر مسیری $6$ کیلومتری در $6$ دقیقه طی شده باشد حتما مسیری$1$ کیلومتری وجود دارد که در $1$ دقیقه پیموده شده باشد

Question

یک موتور سوار در یک مسابقه مسیری به طول شش کیلومتر را در $6$ دقیقه طی می‌کند. ثابت کنید که او در قسمتی از مسیر ، دقیقا در $1$ دقیقه $1$ کیلومتر را طی کرده است؟

Comments

@erfanm
ببخشید منظور از واژه دقیقا چی هستش؟

---

@erfanm
ببخشید منظور از واژه دقیقا چی هستش؟
آیا منظورتون یکتایی هست؟

---

منظور این است که در مدت زمان 1 دقیقه
1 کیلومتر را طی کند نه بیشتر نه کمتر

منظور یکتایی نیست

Answer 1

پرسش کار خاصی به موتورسوار ندارد و تنها مطلبی که از آن استفاده می‌کند ذهنیت ما از اینکه تابع مسافت تجمعی پیموده شده بوسیلهٔ یک موتور در ذهن ما یک تابع پیوسته و بدون جهش و رفتارهای ناپیوسته است.

فرض کنید $f(t)$ یک تابع پیوسته از $[0,6]$ به $[0,6]$ باشد که نشان دهندهٔ میزان مسافت پیموده شده بوسیلهٔ موتورسوارمان است و می‌دانیم که $f(0)=0$ و $f(6)=6$ و $\forall t< t'\;:\;f(t)\leq f(t')$. اکنون تابع جدید زیر را تعریف کنید:

$$\forall t\in[0,5]\;:\;g(t)=f(t+1)-f(t)$$ روشن است که از پیوسته بودن $f(t)$، $g(t)$ نیز پیوسته می‌شود. نکتهٔ مورد نظر پرسش‌کننده استفاده از قضیهٔ مقدار میانی بوده‌است. بازه‌های $[i,i+1]$ برای $0\leq i\leq 5$ را در نظر بگیرید، داریم؛ $$\begin{array}{ll}6 & =6-0=f(6)-f(0)\\ & =\left(f(6)-f(5)\right)+\left(f(5)-f(4)\right)+\cdots+\left(f(1)-f(0)\right)\\ & =g(5)+g(4)+\cdots+g(0) \end{array}$$ اگر یکی از این شش مقدار کمتر از یک و یکی از آنها بیشتر از یک باشد آنگاه قضیهٔ مقدار میانی را به کار ببرید که نتیجه می‌دهد برای عددی بین این دو عدد تابع g دقیقاً یک می‌شود و پرسش حل می‌شود. در غیر اینصورت اگر تمامی شش مقدار g که در جمع بالا آمده است اکیداً از یک کمتر باشند جمعشان اکیداً از ۶ کمتر خواهد شد و تناقض داریم. در حالتی هم که هر شش مقدار بیشتر اکید از یک شوند، جمعشان بیشتر اکید از ۶ می‌شود و دوباره تناقض داریم. پس حتما یا یکی از این شش مقدار یک است یا یکی بیشتر از یک و یکی کمتر از یک می‌توانیم داشته باشیم.