اگر $\limsup (-a_n)=\infty$ در اینصورت $(-a_n)$ از بالا کراندار نیست و لذا $a_n$ از پایین کراندار نیست که این هم ایجاب می کند $\liminf a_n=-\infty$ بنابراین $\limsup(-a_n)=-\liminf a_n$.
به طور مشابه اگر $\limsup(-a_n)=-\infty$ می توانید برابری را ثابت کنید.
فرض کنیم دنباله کراندار باشد. در اینصورت می توانید ثابت کنید
$\alpha=\limsup a_n$ اگر و تنها اگر
- به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha-\epsilon< a_n$
- به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $\alpha+\epsilon< a_n$
و به طور مشابه
$\beta=\liminf a_n$ اگر و تنها اگر
- به ازای هر $\epsilon>0$ بی نهایت اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta+\epsilon$
- به ازای هر $\epsilon>0$ تعداد متناهی اندیس مانند $n$ موجود باشد که $a_n< \beta-\epsilon$
حال چنانچه قرار دهید $\alpha=\limsup (-a_n)$ در اینصورت بازای هر $\epsilon$
بی نهایت اندیس هست که $(-a_n)>\alpha-\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha+\epsilon$
تعداد متنهای اندیس هست که $-a_n> \alpha+\epsilon$ یعنی $a_n< -\alpha-\epsilon$
بنابر یادآوری فوق این یعنی $\liminf a_n=-\alpha$ و حکم ثابت است.
