عدد $25!$ دارای چند صفر است؟

Question

عدد $25!$ (بیست‌و‌پنج فاکتوریل) دارای چند صفر است.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

به طور کلی تعداد عوامل $p$ در عدد $n!$برابر است با:

$$[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...$$

که $[.]$ علامت جزصحیح است.

تعداد صفرهای سمت راست یک عدد بستگی به تعداد عوامل $2$ و $5$ دارد که کترین آنها برابر است با تعداد این صفرها. اما چون تعداد عوامل $5$ کمتر از تعداد عوامل $2$ است بنابراین برای تعیین تعداد صفرهای سمت راست کافی است تعداد عوامل $5$ را حساب کنیم.

لذا جواب شما عبارت است از:

$$[25/5]+[25/5^2]+[25/5^3]+...=5+1+0+0+0...=6$$ یعنی $25!$ دارای $6$ صفر در سمت راست است.

Comments

با این حال این روش فقط تعداد صفرهای سمت راست را مشخص می‌کند. روش خاصی برای فهمیدن تعداد کل صفرها نیست(حداقل من بلد نیستم) ممکن است مثلا عدد به صورت 253056021250025602559000000 باشد.

---

@fardina
سلام.!
ميشه اون قضيه رو كه ابتدا ذكر كرديد اثبات كنيد؟
ممنون!

Answer 2

به نام خدا

با نوشتن برنامه‌ای ساده به زبان پایتون، می‌توانید پاسخ این پرسش را بیابید.

import math
count = 0
a = str(math.factorial(25))
for i in range(0, len(a)):
    if a[i] == "0":
        count += 1
print("Number of zeros:", count)

اگر برنامه را اجرا کنید، در خروجی، Number of zeros: 9 نمایش داده می‌شود. یعنی تعداد تمام صفرهای عدد $25!$، 9 تاست. اگر کمی کد برنامه را تغییر دهیم، می‌توان تعداد صفرهای فکتوریل هر عدد حسابی را محاسبه کرد. کافی است در خط سوم برنامه، به‌جای عدد 25، یک عدد حسابی دلخوه دیگر را قرار دهید. یا اینکه کد برنامه را به‌صورت زیر تغییر دهید.

import math
count = 0
a = str(math.factorial(int((input("Enter a whole number: ")))))
for i in range(0, len(a)):
    if a[i] == "0":
        count += 1
print("Number of zeros:", count)

در این حالت، پس از اجرای برنامه، عبارت Enter a whole number: نمایش داده می‌شود و پس از تایپ کردن یک عدد حسابی و زدن کلید Enter، تعداد صفرهای فاکتوریل عدد وارد شده، نمایش داده می‌شود.

Comments

@Math.Al معمولا زمانی که می‌گویند یک عدد چند تا صفر دارد، منظور تعداد صفرهای سمت راست است به ویژه برای این پرسش فاکتوریل در مدرسه‌ها، هر چند که بهتر است مشخص‌تر و بدون ابهام جمله را بیان کنند چون همانطور که شما برداشت کردید می‌تواند این معنا را داشته باشد که تمام صفرهای موجود در این عدد در هر مکانی را بشمارید که خب روش شما روشی برای محاسبهٔ دستی و سر امتحان نیست. ولی ۱+ به خاطر اینکه به وجود این ابهام در نحوهٔ پرسش اشاره می‌کند و اینکه برنامه‌نویسی استفاده کردید. موفق باشید.