به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,027 بازدید
در دبیرستان توسط mahdilotfi (19 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

سلام. می‌خواستم بدانم اگر بزگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد برابر صفر بشود، چه معنای خواهد داشت؟ آیا چنین چیزی ممکن است؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مقسوم‌علیه‌های $a$ اعدادی هستند که $a$ بر آنها بخش‌پذیر باشد. از طرفی مقسوم‌علیه صفر نداریم چون

$$\frac{a}{0}$$

که در آن $a$ عدد ناصفر است بی‌معنی است پس شمارندهٔ مشترک صفر نخواهد شد.

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)

از آنجائیکه پرسش را در سطح دبیرستان دسته‌بندی کرده‌اید، فرض را بر این می‌گذارم که با مفهوم حلقه و مباحث جبر مجرد آشنایی ندارید و تنها در مورد اعداد صحیح با عمل ضرب و جمع معمولی اعداد می‌خواهید بدانید. پاسخ شما بستگی به این دارد که مقسوم علیه یا شمارنده را چگونه تعریف کنید. اگر شرط غیرصفر بودن را برای شمارنده لحاظ کنید که آشکارا از ابتدای کار صفر نمی‌تواند یک شمارنده باشد چه برسد به بزرگترین شمارندهٔ مشترک. پس فرض کنیم شما این شرط را نگذاشته‌اید، آنگاه برای یک عدد صحیح دلخواه $n$ تعریف می‌کنیم

عدد صحیح $k$ را یک شمارندهٔ $n$ می‌گوئیم هر گاه عدد صحیح $m$ای یافت شود که $mk=n$.

اکنون توجه کنید که حاصلضرب صفر در هر عددی صفر می‌شود پس اگر $n$ ناصفر باشد آنگاه هیچ $m$ای وجود ندارد که $m\times 0=n$ پس صفر شمارندهٔ هیچ عدد ناصفری نیست. پس اگر قرار باشد صفر بزرگترین شمارندهٔ مشترک دو عدد باشد، آن دو عدد هر دو فقط می‌توانند از تک‌عضویِ صفر انتخاب شوند. اما! هر عدد دلخواهی ضربدر صفر صفر می‌شود، پس برای هر عدد صحیحِ $k$ای مثلا ۲ یا ۳ یا ۱۰ یا هر چیزی، با انتخابِ $m=0$ داریم $km=0$، پس همهٔ اعداد صحیح شمارنده‌ای از صفر است، پس خود عدد صفر بزرگترین شمارندهٔ خودش نمی‌شود! در واقع بزرگترین شمارندهٔ مشترک صفر و صفر وجود ندارد چون بزرگترین عدد صحیح مثبت وجود ندارد (اعداد صحیح از بالا کراندار نیست، بی‌کران است). در نتیجه صفر ب.م.م. هیچ دو عددی نمی‌شود.

توجه کنید که اگر شرط ناصفر بودن را برای $k$ نگذارید ولی برای $m$ لحاظ کنید، آنگاه صفر شمارنده‌ای از صفر می‌ماند ولی اعداد ناصفر شمارندهٔ صفر نخواهند ماند. در اینصورت تنها شمارندهٔ مشترکِ صفر و صفر، صفر می‌شود و خواهید داشت ب.م.م. -ِ ۰ و ۰، ۰ است. اما این طرز تعریف کردنِ شمارنده جالب نیست زیرا تعمیمِ جالبی از تعریف شمارنده برای اعداد طبیعی به اعداد صحیح نخواهد شد (برای نمونه عدد ۱ که قرار بود همهٔ اعداد را بشمارد، دیگر عدد صفر را نمی‌شمارد!).

توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
احسنت بسیار عالی و جامع

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...