از آنجائیکه پرسش را در سطح دبیرستان دستهبندی کردهاید، فرض را بر این میگذارم که با مفهوم حلقه و مباحث جبر مجرد آشنایی ندارید و تنها در مورد اعداد صحیح با عمل ضرب و جمع معمولی اعداد میخواهید بدانید. پاسخ شما بستگی به این دارد که مقسوم علیه یا شمارنده را چگونه تعریف کنید. اگر شرط غیرصفر بودن را برای شمارنده لحاظ کنید که آشکارا از ابتدای کار صفر نمیتواند یک شمارنده باشد چه برسد به بزرگترین شمارندهٔ مشترک. پس فرض کنیم شما این شرط را نگذاشتهاید، آنگاه برای یک عدد صحیح دلخواه $n$ تعریف میکنیم
عدد صحیح $k$ را یک شمارندهٔ $n$ میگوئیم هر گاه عدد صحیح $m$ای یافت شود که $mk=n$.
اکنون توجه کنید که حاصلضرب صفر در هر عددی صفر میشود پس اگر $n$ ناصفر باشد آنگاه هیچ $m$ای وجود ندارد که $m\times 0=n$ پس صفر شمارندهٔ هیچ عدد ناصفری نیست. پس اگر قرار باشد صفر بزرگترین شمارندهٔ مشترک دو عدد باشد، آن دو عدد هر دو فقط میتوانند از تکعضویِ صفر انتخاب شوند. اما! هر عدد دلخواهی ضربدر صفر صفر میشود، پس برای هر عدد صحیحِ $k$ای مثلا ۲ یا ۳ یا ۱۰ یا هر چیزی، با انتخابِ $m=0$ داریم $km=0$، پس همهٔ اعداد صحیح شمارندهای از صفر است، پس خود عدد صفر بزرگترین شمارندهٔ خودش نمیشود! در واقع بزرگترین شمارندهٔ مشترک صفر و صفر وجود ندارد چون بزرگترین عدد صحیح مثبت وجود ندارد (اعداد صحیح از بالا کراندار نیست، بیکران است). در نتیجه صفر ب.م.م. هیچ دو عددی نمیشود.
توجه کنید که اگر شرط ناصفر بودن را برای $k$ نگذارید ولی برای $m$ لحاظ کنید، آنگاه صفر شمارندهای از صفر میماند ولی اعداد ناصفر شمارندهٔ صفر نخواهند ماند. در اینصورت تنها شمارندهٔ مشترکِ صفر و صفر، صفر میشود و خواهید داشت ب.م.م. -ِ ۰ و ۰، ۰ است. اما این طرز تعریف کردنِ شمارنده جالب نیست زیرا تعمیمِ جالبی از تعریف شمارنده برای اعداد طبیعی به اعداد صحیح نخواهد شد (برای نمونه عدد ۱ که قرار بود همهٔ اعداد را بشمارد، دیگر عدد صفر را نمیشمارد!).
