عدد ۵ به توان ۱۳۸۹چند رقمی است؟

Question

عدد$ 5^{1389} $چند رقمی است؟ بدون استفاده از فرمول لگاریتم میخوام حساب کنم.

Answer 1

این نوع سوالها رو می شه با کمک لگاریتم به صورت دقیق محاسبه کرد. اما با توجه به اینکه شما نمی خواهید از لگاریتم استفاده کنید می تونید به روشی که در زیر توضیح می دهم تقریب بزنید. $ 5^{10} \simeq 10^{7}$ بنابراین 5 به توان 1389 رو بر اساس 5 به توان 10 می نویسیم. $5^{1389} = (5^{10})^{138.9} \simeq ( 10^{7} )^{138.9} = 10^{972.3} \simeq 10^{972} $ که این عدد 972+1 = 973 رقم است. با توجه به اینکه ما تقریب به بالا زدیم بنابرین جواب حقیقی باید کمتر از 973باشد که می تواند گزینه های 972 و 971 باشد.

جواب دقیق با لگاریتم محاسبه شده است که برابر 971 است.

Answer 2

برای انجام اینکار با توجه به رابطه مقابل : log x^n = n*log x و با توجه به اینکه تعداد ارقام اعداد در مبنای ۱۰ برابر با : log x + 1 بنابراین تعداد ارقام 1389^5 برابر با log 5 * 1389 +1 است که برابر با 971 میباشد