تعریف تابع اکید صعودی و صعودی

Question

تابع صعودی تعریف میکنیم به صورت زیر :

$$\forall x_1,x_2 \in D_f : x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2)\geq f(x_1)$$

و همچنین تابع اکید صعودی :

$$\forall x_1,x_2 \in D_f : x_2>x_1 \Rightarrow f(x_2)> f(x_1)$$

فرض کنید تابع$f$ تابع صعودی است آیا میتوان نتیجه بگیریم که :

$$f(x_2) \geq f(x_1)\Rightarrow x_2>x_1$$

---

و همچنین فرض کنید تابع$f$ تابع اکید صعودی است آیا میتوان نتیجه بگیریم که :

$$f(x_2) > f(x_1)\Rightarrow x_2>x_1$$

اگر ج خیر است بگویید در چه صورت میتوان همچنین نتیجه رو بگیریم مثلا در نامعادلات توابع لگاریتمی و نمایی از این نتیجه استفاده میشود . چگونه اثبات میشود .

Comments

از برهان خلف استفاده کنید.

---

@amirabbas
چطوری ؟ ممنون میشم در پاسخ بنویسید .

Answer 1

درباره مورد اول تابع $f$ صعودی است. می خواهیم ثابت کنیم:

$$ f(x_2) \geq f(x_1) \Rightarrow x_2 > x_1 $$

نتیجه گیری بالا نادرست است و تابع ثابت مثال نقض آن است(برای مثال $f(x) = 5$ و $x_1 = 10$ و $x_2 = 1$) .

اما برای مورد دوم که $f$ صعودی اکید است، می خواهیم عبارت زیر را ثابت کنیم:

$$ f(x_2) > f(x_1) \Rightarrow x_2 > x_1 $$ با برهان خلف می خواهیم نتیجه بگیریم $x_2 > x_1$ پس خلاف آن را فرض میکنیم یعنی $x_2 \leq x_1$ . در این صورت طبق تعریف تابع صعودی اکید نتیجه می شود $ f(x_2) \leq f(x_1) $ که با فرض $f(x_2) > f(x_1)$ در تناقض است. پس فرض $x_2 \leq x_1$ نادرست است و $x_2 > x_1$ .

Comments

خیلی ممنون لطف کردید . فقط آیا در حالت اولی میتونیم اینطوری نتیجه بگیریم :
$f(x_2) \geq f(x_1) \to x_2 \geq x_1$

---

نتیجه گیری صحیح نیست. در نظر بگیرید $f(x) = 2$ و $x_1 = 3$ و $x_2 = 1$

Answer 2

اگر f اکیدا صعودی باشد پس مشتق آن نامنفی است: \frac{f(x)-f(y)}{x-y} >0 \rightarrow f(x)-f(y) > 0 and x-y>0 or f(x)-f(y) <0 and x-y<0 if f(x)-f(y) > 0 \Rightarrow x-y>0 \Rightarrow f(y)<f(x) \Rightarrow x<y