چون $y=mx+h$ مجانب تایع $f$ است لذا
$$m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\\ h=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-mx\right)$$
(من فرض کردم در مثبت و منفی بینهایت دارای همین مجانب است)
برای پیداکردن جانب $y=m'x+h'$ تابع $y=af(bx+c)+d$ داریم:
$$m'=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{af(bx+c)+d}{x}=am$$
و لذا
$$\begin{align}h'&=\lim_{x\to\pm\infty}\left(af(bx+c)+d-m'x\right)\\
&=\lim_{x\to\pm\infty}\left(af(bx+c)+d-amx\right)\\
&=a\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(bx+c)-mx\right)+d\\
&=ah+d
\end{align}$$
بنابراین مجانب تابع جدید برابر $y=(am)x+(ah+d)$ خواهد بود.
