ابتدا باید ضابطه تابع وارون سینوس هایپربولیک رو بدست بیاوریم :
$$\begin{align}x=\sin h (y)
\\&=\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\\
&=\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} \big(\dfrac{e^y}{e^y}\big)
\\&=\dfrac{e^{2y}-1}{2e^y}\\
&x2e^y=e^{2y}-1\\
&e^{2y}-1-x2e^y =0\\&
(e^y)^2-2x(e^y)-1=0\\&
e^y=\dfrac{2x+\sqrt{4x^2+4}}{2}\\&
e^y=x+\sqrt{x^2+1}\\&
\ln e^y= \ln( x+\sqrt{x^2+1})\\&
y= \ln (x+\sqrt{x^2+1})\\&
f(x):=\sinh^{-1}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})
\end{align} $$
حال با مشتق گیری از تابع وارون سینوس هایپربولیک خواهیم داشت :
$$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
