کمینهٔ تابع $f(x,y)=x+2y$ را با شرط $y^2+xy-1=0$ و به کمک ضرایب لاگرانژ بیابید.

Question

کمینهٔ تابع دو متغیرهٔ زیر را با توجه به محدودیت $g=0$ و با استفاده از روش لاگرانژ محاسبه نمایید.

$$f(x,y)=2y+x\\ g(x,y)=y^2+xy-1=0$$

Answer 1

شما تعریف روش ضرایب لاگرانژ را اصلا نگاه کرده‌اید؟ واقعا هیچ چیزی غیر از جایگذاری در تعریف ضرایب لاگرانژ و اقدام به ساده‌سازی ندارد.

تعریف کنید $h(x,y,\lambda):=f(x,y)+\lambda f(x,y)$ پس $h=x+2y+\lambda(y^2+xy-1)$. اکنون مشتق‌های پاره‌ای $h$ را نسبت به $x$ و $y$ و $\lambda$ محاسبه و دستگاه قرار دادن این مشتق‌ها برابر صفر را حل کنید. دستگاه برابر است با: $$\left\lbrace\begin{array}{l}1+\lambda y=0\\ 2+\lambda(2y+x)=0\\ y^2+xy-1=0\end{array}\right.$$ برابری یکم را که حل کنید دارید $y=\frac{-1}{\lambda}$. با جایگذاری آن در برابری دوم دارید $x=0$ و با جایگذاری هر دو در برابری سوم دارید $\lambda=\pm 1$. اکنون دو نقطه دارید $(0,1)$ و $(0,-1)$. با جایگذاری آن دو در تابع $f$، یکمی $2$ و دومی $-2$ می‌دهد. پس کمینهٔ تابع‌تان زمانیکه به خمینهٔ $g=0$ محدود شده‌است در نقطهٔ $(0,-1)$ روی می‌دهد و مقدار $-2$ است.

Comments

ممنونم از پاسخی که به سوال دادید.