شما تعریف روش ضرایب لاگرانژ را اصلا نگاه کردهاید؟ واقعا هیچ چیزی غیر از جایگذاری در تعریف ضرایب لاگرانژ و اقدام به سادهسازی ندارد.
تعریف کنید $h(x,y,\lambda):=f(x,y)+\lambda f(x,y)$ پس $h=x+2y+\lambda(y^2+xy-1)$. اکنون مشتقهای پارهای $h$ را نسبت به $x$ و $y$ و $\lambda$ محاسبه و دستگاه قرار دادن این مشتقها برابر صفر را حل کنید. دستگاه برابر است با:
$$\left\lbrace\begin{array}{l}1+\lambda y=0\\ 2+\lambda(2y+x)=0\\ y^2+xy-1=0\end{array}\right.$$
برابری یکم را که حل کنید دارید $y=\frac{-1}{\lambda}$. با جایگذاری آن در برابری دوم دارید $x=0$ و با جایگذاری هر دو در برابری سوم دارید $\lambda=\pm 1$. اکنون دو نقطه دارید $(0,1)$ و $(0,-1)$. با جایگذاری آن دو در تابع $f$، یکمی $2$ و دومی $-2$ میدهد. پس کمینهٔ تابعتان زمانیکه به خمینهٔ $g=0$ محدود شدهاست در نقطهٔ $(0,-1)$ روی میدهد و مقدار $-2$ است.
