به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
827 بازدید
در دبیرستان توسط mirIam81 (35 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط fardina

عدد زیر به این شکل درست شده است $$0/123456789101112131415\cdots$$ اعداد طبیعی پس از ممیز به ترتیب نوشته شده اند

ثابت کنید این عدد گویا نیست

توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
واژهٔ «آیا» را در ابتدای جمله می‌آورند نه در انتها.

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط Mohammadamin (754 امتیاز)

در بین اعداد اعشاری که ارقام اعشاری انها نامتناهی می باشد ،تنها اعداد اعشاری میتوانند گویا باشند که ارقام پس از اعشار انها متناوب باشد یعنی بلافاصله بعد از اعشار یک یا چند رقم تکرار شوند یا اینکه بعد از اعشار یک یا چند رقم داشته و بعد یک یا چند رقم شروع به تکرار کنند. بنابراین چون در این اعداد هیچ رقمی با الگویی تکرار نمیشود ، این عدد، عددی گویا نمیتواند باشد و گنگ است

توسط mirIam81 (35 امتیاز)
+1
چه طور میتوانیم اثبات کنیم  تا بینهایت هرگز امکان پدید آمدن دوره تناوب وجود ندارد؟
توسط Maisam.Hedyehloo (599 امتیاز)
نگاه کن امکان تناوبی بودن نیست اگر تناوبی باشه باید دنباله از دیجیت ها تا یک مرتبه متناهی قطع بشه و همون دنبال متناهی در بسط تکرار بشه.  مثلا در بسط بالا $10^{n}$ بالا موجود است که نشان می دهد تناوبی تیست.
توسط Mohammadamin (754 امتیاز)
ویرایش شده توسط Mohammadamin
در دنباله اعداد طبیعی هیچگاه الگوی دارای تناوب برای یک رقم وجود ندارد.
توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
@Mohammadamin پاسخی که نوشتید تنها ایده‌است اگر می‌خواهید کامل شود باید درست بودن نبود تکرار را ثابت کنید. می‌توانید از فرض خلف استفاده کنید.
0 امتیاز
قبل توسط mort (113 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط mort

امکان دارد عددی گویا باشد زیراکه امکان پذیر است دوره تناوب بعد از 100 امین عدد اتفاق بی افتد. مثال:

$ \frac{120}{127}=0.94488188976377952755905511811023622047244094488... $

دور تناوب $ \frac{120}{127} $ شامل 42 عدد است که می توان به صورت زیر نوشت:

$ \frac{120}{127}=0. \overline{944881889763779527559055118110236220472440} $

یعنی نمی شود با دیدن بخش محدودی از اعشار یک عدد، به گنگ بودن آن پی برد. تنها راه حل این است که مقدار دقیق آن را به صورت ریاضیاتی (دارای رادیکال و ...) نوشت و بعد از آن ثابت کرد که عدد مورد نظر گنگ است یا گویا. و اما درمورد عددی که شما نوشتید بنظر می آید که 1 و 2 و 3 و ... به ترتیب در آن قرار گرفته اند. در این صورت می توان نشان عدد مورد نظر حتما گنگ است. فرض کنید قسمت اعشاری عدد را تا n پیش رفته ایم و تا این عدد دوره تناوب ما تشکیل می شود:

$ A=0.123...n...= 0.\overline{123...n} $

عدد n نیز عددی m رقمی است. پس نتیجه میگیریم تعداد ارقام $\overline{123...n}$ بسیار بیشتر از m است. (کاملا بدیهی است زیرا تنها در عدد آخر، یعنی n، به اندازه m رقم وجود دارد.) در واقع عدد A را به صورت زیر می توان نشان داد:

$ A=0. \overline{123...n 123... n 123...n ... } = \overline{123...n(n+1)} \Rightarrow \overline{123...n}=n+1$

مسئله ای که بوجود می آید آنست که آیا m رقم ول $ \overline{123...n} $ و $ \overline{n+1} $ با هم برابرند؟ m رقم اول عدد $ \overline{123...n} $ برابرست با $ \overline{123...m} $. در واقع مسئله می گوید ارقام $ n+1 $ حتما باید به صورت $ \overline{123...m} $ باشد. که برای برخی اعداد ممکن است درست باشد و برای n های دیگر نادرست! به طور مثال برای n=5789 نادرست است زیرا $ 1234 \neq 5790 $ و برای n=12344 درست است.

در حالت اول یعنی اگر $ n+1 \neq \overline{123...m} $ باشد مسئله به صورت مستقیم و با استفاده از برهان خلف طبق توضیحات بالا ثابت شده است.

در حالت دوم یعنی اگر $ n+1=\overline{123...m} $. پس از تمام شدن ارقام n، ارقام n+1 وارد کار می شوند. یعنی ارقام $ \overline{123...m}+1 $:

$ A=\overline{123...n123...m123...(m+1)} $

به عدد $ \overline{123...m1} $ توجه کنید (در عدد A موجود است.) این عدد 2 تا 1 در خودش دارد که به هیچ وجه نمی تواند برابر باشد با $ \overline{123...n} $ زیرا دوره از ابتدا شروع شده در حالی که میدانیم در 123...n در هیچ کجا اعداد از ابتدا شروع نمی شوند. تناقض ایجاد شد خلاف فرض (در تمام طول اثبات فرض کردیم A عددی گویاست.) ثابت شد.

قبل توسط fardina (16,416 امتیاز)
@mort
برای نوشتن فرمول ریاضی در بین دو تگ math باید بعد از باز کردن تگ دومی علامت / را بگذارید وگرنه مثل پاسخی که اینجا آوردید بعضی جاها اشتباه نمایش داده میشه. برای نوشتن تگ های math از دکمه ای که در ویرایشگر در نظر گرفته شده استفاده کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...