امکان دارد عددی گویا باشد زیراکه امکان پذیر است دوره تناوب بعد از 100 امین عدد اتفاق بی افتد.
مثال:
$ \frac{120}{127}=0.94488188976377952755905511811023622047244094488... $
دور تناوب $ \frac{120}{127} $ شامل 42 عدد است که می توان به صورت زیر نوشت:
$ \frac{120}{127}=0. \overline{944881889763779527559055118110236220472440} $
یعنی نمی شود با دیدن بخش محدودی از اعشار یک عدد، به گنگ بودن آن پی برد. تنها راه حل این است که مقدار دقیق آن را به صورت ریاضیاتی (دارای رادیکال و ...) نوشت و بعد از آن ثابت کرد که عدد مورد نظر گنگ است یا گویا.
و اما درمورد عددی که شما نوشتید بنظر می آید که 1 و 2 و 3 و ... به ترتیب در آن قرار گرفته اند. در این صورت می توان نشان عدد مورد نظر حتما گنگ است.
فرض کنید قسمت اعشاری عدد را تا n پیش رفته ایم و تا این عدد دوره تناوب ما تشکیل می شود:
$ A=0.123...n...= 0.\overline{123...n} $
عدد n نیز عددی m رقمی است. پس نتیجه میگیریم تعداد ارقام $\overline{123...n}$ بسیار بیشتر از m است. (کاملا بدیهی است زیرا تنها در عدد آخر، یعنی n، به اندازه m رقم وجود دارد.)
در واقع عدد A را به صورت زیر می توان نشان داد:
$ A=0. \overline{123...n 123... n 123...n ... } = \overline{123...n(n+1)} \Rightarrow \overline{123...n}=n+1$
مسئله ای که بوجود می آید آنست که آیا m رقم ول $ \overline{123...n} $ و $ \overline{n+1} $ با هم برابرند؟ m رقم اول عدد $ \overline{123...n} $ برابرست با $ \overline{123...m} $. در واقع مسئله می گوید ارقام $ n+1 $ حتما باید به صورت $ \overline{123...m} $ باشد. که برای برخی اعداد ممکن است درست باشد و برای n های دیگر نادرست! به طور مثال برای n=5789 نادرست است زیرا $ 1234 \neq 5790 $ و برای n=12344 درست است.
در حالت اول یعنی اگر $ n+1 \neq \overline{123...m} $ باشد مسئله به صورت مستقیم و با استفاده از برهان خلف طبق توضیحات بالا ثابت شده است.
در حالت دوم یعنی اگر $ n+1=\overline{123...m} $. پس از تمام شدن ارقام n، ارقام n+1 وارد کار می شوند. یعنی ارقام $ \overline{123...m}+1 $:
$ A=\overline{123...n123...m123...(m+1)} $
به عدد $ \overline{123...m1} $ توجه کنید (در عدد A موجود است.) این عدد 2 تا 1 در خودش دارد که به هیچ وجه نمی تواند برابر باشد با $ \overline{123...n} $ زیرا دوره از ابتدا شروع شده در حالی که میدانیم در 123...n در هیچ کجا اعداد از ابتدا شروع نمی شوند. تناقض ایجاد شد خلاف فرض (در تمام طول اثبات فرض کردیم A عددی گویاست.) ثابت شد.
