عدد $C_{10}=0.12345...$ را اولین بار ریاضیدان بزرگ $D. G. Champernowne$ معرفی کرد.البته ایشان عدد را در هر مبنای دلخواه تعریف کرد.
به نظر من این عدد یکی از جذابترین اعداد گنگ است.
می توان ثابت کرد یک عدد اعشاری بی پایان گویا است اگر و فقط اگر از مرحله ای به بعد تکراری باشد.اینکه عددی اعشاری از مرحله ای به بعد تکراری گویاست ساده است.
حالا فرض کنید $x$ عددی اعشاری گویا باشد و $0<x<1$ پس اعداد طبیعی $p$ و $q$ نسبت به هم اول وجود دارند که $x= \frac{p}{q} $
حالا دنباله $[x],[10x],[10^2x],...$ را در نظر بگیرید.بنابه الگوریتم تقسیم باقیمانده هر جمله این دنباله در تقسیم بر $q$ در مجموعه $0,1,2....,q-1$ قرار دارد.پس بنابه اصل لانه کبوتری اعداد طبیعی متمایز $m$ و $n$ وجود دارند که:
$10^mx-[10^mx]=10^{m+n}x-[10^{m+n}x]$
حالا قرار دهید:
$a_1=[10^{m+n}x]-[10^mx]=10^mx(10^n-1)$
آنگاه عدد طبیعی$a_2$ و $a_3$ که $0 \leq a_3<10^n-1$ موجود است که:
$10^mx= \frac{a_1}{10^n-1}=a_2+ \frac{a_3}{10^n-1}=a_2+ \sum \frac{a_3}{10^{kn}}$
$ \Rightarrow 10^mx-a_2=0. \overline{b},b=a_3 \times0.000...01$
که در آن تعداد صفرها $n-1$ است.از این می توان نتیجه گرفت که خود $x$ هم متناوب است.
حالا کافیست نشان دهیم $C_{10}=0.12345....$ دوره تکرار ندارد تا نشان دهیم گنگ است.
حالااگر $C_{10}=0.12345678910111213......=0.12345678910111213...a \overline{b_1b_2...b_m} $ آنگاه چون در عدد فوق ما مکانهایی مانند $10^n$ را داریم ($n$ را می توان به هر اندازه دلخواه در نظر گرفت)که با اعداد $0$ پر می شوند باید $0. \overline{b_1b_2...b_m}=0. \overline{00...0}=0 $ که این امکان ندارد.
$ \Box $
