سلام دوست عزیز.
راهنمایی:
گزاره فوق صحیح نیست.
مثال نقض:
مثال زیر را نگاه کن
تابع $f$ بر بازه
$[0,1]$,
$f=1_{\mathbb{Q} \cap [0,\frac{1}{2}]}$
را در نظر بگیرید.
و تابع
$\alpha$
بر روی بازه
$[0,\frac{1}{2}]$.
ثابت یک باشد باشد. بوضوح انتگرال ریمان اشتلیس
$f$
نسبت به
$\alpha(x)=1$
موجود و برابر صفر است ولی نسبت به
$\alpha(x)=x$
انتگرال پذیر نیست. چونکه مقدار انتگرال بالایی برابر یک و انتگرال پایینی صفر می باشد.
در این صورت :
$ f \notin {\cal R}(x)$
ولی
$ f\in{\cal R}(\alpha)\ $.
و همچنین فصل ششم کتاب رودین. قضیه زیبایی بیان کرده که ارتباط این دو انتگرال را بیان می کنه.
منبع: MSE
