حل انتگرال$ \int e^{-x} sin2xdx$

Question

مشکل من تو انتگرال پایین اینه که وقتی از روش جز به جز میرم باز دوباره میرسم به انتگرال دو تابع که اونم از روش جز به جز حل می کنم و بعد از حل دوباره یه انتگرال جدید میاد که اما اینبار خود انتگرال تو سوال هستش و نمی دونم باید چی کار کنم و بدجور گیج شدم. $$ \int e^{-x} sin2xdx$$

Comments

اسم این‌انتگرال رو مثلا  I بگذارید و هر جا که این انتگرال رو دوباره دیدید I بجاش قرار بدید. بعد همه I ها را یک‌جا ببرید و کنار هم بگذارید که آن را به دست بیارید.

Answer 1

به طور کلی میخواهیم این نوع انتگرال هارو حل کنیم ابتدا از جز به جز انتگرال رو بدست میاوریم این کار را تا زمانی ادامه میدهیم که به انتگرال اولی برسیم خواهیم داشت :

$$\eqalign{ & I = \int {{e^{a\theta }}} \;\sin b\theta \;d\theta \cr & \,\,\,\, = {1 \over a}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over a}\int {{e^{a\theta }}\cos b\theta \,d\theta } \cr & \,\,\,\, = {1 \over a}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over a}\left[ {{1 \over a}{e^{a\theta }}\cos b\theta + {b \over a}\int {{e^{a\theta }}\sin b\theta d\theta} } \right] \cr & \,\,\,\, = {1 \over a}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over a}\left[ {{1 \over a}{e^{a\theta }}\cos b\theta + {b \over a}I} \right] \cr & \,\,\,\, = {1 \over a}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over {{a^2}}}{e^{a\theta }}\cos b\theta - {{{b^2}} \over {{a^2}}}I \cr} $$

حال $I$ رو بدست میاوریم :

$$\eqalign{ & {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}}}I = {1 \over a}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over {{a^2}}}{e^{a\theta }}\cos b\theta \cr & I = {a \over {{a^2} + {b^2}}}{e^{a\theta }}\sin b\theta - {b \over {{a^2} + {b^2}}}{e^{a\theta }}\cos b\theta \cr} $$

در نتیجه :

$$\boxed{I = {1 \over {{a^2} + {b^2}}}{e^{a\theta }}\left[ {a\sin b\theta - b\cos b\theta } \right]}$$

Comments

در اصطلاح بهش میگن حل معادله انتگرالی.تو کتابای محض تر این معادلات رو طبقه بندی کردن.