ثابت کنید $Ker( \delta _0)$ در augmented chain complex توسط عناصر به قرم $x_i- x_j$ تولید می شود.

Question

فرض کنید $\triangle$ یک مجتمع سادکی با مجموعه رئوس $V=\{ x_1, \ldots, x_m \}$ باشد و

$$... \rightarrow^{\delta _1}C_0( \triangle )\rightarrow^{\delta _0}C_{-1}( \triangle )=A \rightarrow 0$$ $augmented\ \ chain \ \ complex$ روی حلقه $A$ باشد ثابت کنید $Ker( \delta _0)$توسط عناصر به فرم $x_i- x_j$ تولید می شود.

Answer 1

می دانیم $\delta _0( \sum a_i x_i)=\sum a_i$

فرض کنید $\sum_1^s a_i x_i$ یک عضو ناصفر از $Ker( \delta _0)$ باشد پس $\sum_1^s a_i=0$. بدون کاستن از کلیت فرض کنید $a_1$ کوچکترین ضریب باشد از آنجایی که حاصل جمع ضرایب برابر صفر شده است پس یک ضریب مخالف علامت با $a_1$ مانند $a_k$ وجود دارد قرار میدهیم $a_k =-a_1+ a_k^{'}$ پس داریم:

$$\sum_1^s a_i x_i= a_1(x_1-x_k)+\sum_{i=2,i \neq k}^s a_i x_i+a_k^{'}x_k$$ و همچنین داریم: $$0=\sum_1^s a_i=a_1+...+a_k+...+a_s=a_1+...+(-a_1+ a_k^{'})+...+a_s=\sum_{i=2,i \neq k}^s a_i +a_k^{'}=0$$ پس دوباره همانند بالا عمل میکنیم و چون تعداد جمع وند ها متناهی است پس از تعداد متناهی انجام این روش $\sum_1^s a_i x_i$ را به صورت مجموعی از عناصر به فرم $a_k(x_i-x_j)$ می نویسیم که هر یک از این جمع وند ها به سادگی دیده می شود که عضوی از $Ker( \delta _0)$ است و این حکم را ثابت می کند.

Comments

خیلی ممنون از پاسختون...عدر میخوام تعریف رند صفر دقیقا کدوم صفحه از کتاب ویاریل اومده.ممنونم

---

@m.jafari
سلام . خواهش می کنم
 در ابتدای صفحه 210 در فصل 6 کتاب تعریف کلی  نوشته شده است.