می دانیم $ \delta _0( \sum a_i x_i)=\sum a_i $
فرض کنید $\sum_1^s a_i x_i$ یک عضو ناصفر از $Ker( \delta _0) $ باشد پس $\sum_1^s a_i=0 $.
بدون کاستن از کلیت فرض کنید $ a_1 $ کوچکترین ضریب باشد از آنجایی که حاصل جمع ضرایب برابر صفر شده است پس یک ضریب مخالف علامت با $ a_1 $ مانند $ a_k $ وجود دارد قرار میدهیم $ a_k =-a_1+ a_k^{'}$ پس داریم:
$$\sum_1^s a_i x_i= a_1(x_1-x_k)+\sum_{i=2,i \neq k}^s a_i x_i+a_k^{'}x_k$$
و همچنین داریم:
$$0=\sum_1^s a_i=a_1+...+a_k+...+a_s=a_1+...+(-a_1+ a_k^{'})+...+a_s=\sum_{i=2,i \neq k}^s a_i +a_k^{'}=0$$
پس دوباره همانند بالا عمل میکنیم و چون تعداد جمع وند ها متناهی است پس از تعداد متناهی انجام این روش $\sum_1^s a_i x_i$ را به صورت مجموعی از عناصر به فرم $a_k(x_i-x_j)$
می نویسیم که هر یک از این جمع وند ها به سادگی دیده می شود که عضوی از $Ker( \delta _0) $ است و این حکم را ثابت می کند.
