قضیه: اگر $X$ یک فضای نرمدار متناهی بعد و $Y$ فضای نرمدار دلخواه باشد آنگاه هر علگر خطی $T:X\to Y$ کراندار است. (برای اثبات این قضیه می توانید به کتاب های آنالیز تابعی رجوع کنید مثلا من اینو از کتاب an introduction to banach space theory از megginson میارم)
توجه کنید که فضاهای برداری روی میدان یکسان $\mathbb F$ هستند.
قضیه: اگر $X$ و $Y$ دو فضای نرمدار متناهی بعد با بعد $n$ باشند در اینصورت هر عملگر خطی پوشای $T:X\to Y$ یک ایزومورفیسم است.
اثبات: چون $X$ و $Y$ دارای بعد متناهی یکسانند لذا عملگر $T$ یک به یک است و از قضیه پیشین حکم ثابت می شود.
نتیجه: هر دو فضای نرمدار با بعد یکسان $n$ ایزومورفیک هستند.
اثبات: می دانیم که یک عملگر خطی از $X$ به روی $Y$ موجود است.(این یک قضیه از جبرخطی بود) لذا از قضیه قبل این $T$ یک ایزومورفیسم بین $X$ و $Y$ خواهد بود.
نتیجه: هر فضای برداری متناهی بعد دارای دقیقا یک توپولوژیِ نرم است.
اثبات: چون $dim X=dim \mathbb F^n$ (برای $n$ ی نامنفی) لذا یک عملگر خطی $T:X\to \mathbb F^n$ وجود دارد. در اینصورت $\|x\|_T:=\|Tx\|$ یک نرم روی $X$ خواهد بود. فرض کنید $\|.\|'$ نرم دلخواه دیگری روی $X$ باشد چون نگاشت همانی از $(X,\|.\|_T)$ به روی $(X,\|.\|')$ خطی است پس طبق نتیجه قبل یک ایزومورفیسم بین این دو فضای نرمدار است و لذا این دو نرم معادلند.
