یک سمتش تقریبا بدیهیه چرا که اگه فرض کنیم خاصیت سوم برقراره یعنی
خاصیت سوم
برای همهی چندجملهایهای $S(x)$ که روی $[a,b]$ نامنفی هستند
$$ \int_a^b W(x)S(x)dx=0 \Longrightarrow S(x)=0 $$
اونوقت چون $W(x) \geq 0$ پس $ \int_a^b W(x)dx \geq 0 $ حالا اگه $ \int_a^b W(x)dx=0$ اونوقت این یعنی $ \int_a^b 1.W(x)dx=0$ که طبق خاصیت سوم نتیجه میده که $1=0$ که تناقضه پس $ \int_a^b W(x)dx>0$.
حالا برای عکس فرض کنیم $ \int_a^b W(x)dx>0$ و $S(x)$ یک چندجملهای درجه $n$ باشه اونوقت (طبق راهنمایی کتاب استوئر) وجود دارد $k \in [a,b]$ به طوریکه
طبق قضیه مقدار میانگین برای انتگرال
$$ \int_a^b W(x)S(x)dx=S(k) \int_a^b W(x)dx$$
نقاط $ m_{1} ,..., m_{n} $ در بازه $(a,b)$ درنظر میگیریم و قضیه مقدار میانگین رو در هر زیربازه اعمال میکنیم داریم
$ \int_a^b W(x)S(x)dx= \int_a^{ m_{1} } W(x)S(x)dx+ \int_{ m_{1} }^{ m_{2} } W(x)S(x)dx+...+\int_{ m_{n} }^b W(x)S(x)dx$
$=S( k_{1} ) \int_a^{ m_{1} } W(x)dx+S( k_{2} ) \int_{ m_{1} }^{ m_{2} } W(x)dx+...+S( k_{n+1} )\int_{ m_{n} }^b W(x)dx=0 $
حالا چون چندجملهایهای $S(x)$ روی $[a,b]$ نامنفی هستن و انتگرال تابع وزن مثبته پس
$$S( k_{1} )=S( k_{2} )=...=S( k_{n+1} )=0$$
حالا چون طبق قضیه اساسی جبر هر چندجملهای درجه $n$ میتونه حداکثر $n$ ریشه داشته مگر اینکه متحد با صفر باشه نتیجه میشه که
$$S(x)=0$$
