اگر $ A^{2}-4A-I=0 $ مقدار $\sum_{i=1}^5(a_i-\frac1{a_i})$ را بیابید.

Question

ماتریس $A \in M_{5}(R) $ در رابطه $ A^{2}-4A-I=0 $ صدق می کند. اگر $ a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4} , a_{5} $ مقدار ویژه های $A$ باشند، مقدار

$$( a_{1} - \frac{1}{ a_{1}} )+( a_{2} - \frac{1}{ a_{2}} )+( a_{3} - \frac{1}{ a_{3}} )+( a_{4} - \frac{1}{ a_{4}} )+( a_{5} - \frac{1}{ a_{5}} )$$

کدام است؟

1) 4

2) -20

3) 20

4) -4

دکتری 95 ریاضی کاربردی

Answer 1

فکر میکنم یه سوال استاندارد باشه. با توجه به معادله داده شده داریم

$$A(A-4I)=I \rightarrow A^{-1} =A-4I \rightarrow tr(A)-tr(A^{-1})=4tr(I)=20$$

پس 20 جواب موردنظره چرا که مجموع مقادیر ویژه همون اثر ماتریسه و چون عکس هر مقدار ویژه یک مقدار ویژه ماتریس وارون پس مجموع معکوس مقادیر ویژه برابر اثر ماتریس وارون.