تعیین بازه $S= \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{3^{2}} +...+ \frac{1}{ 1393^{2} }$

Question

فرض کنید $S= \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{3^{2}} +...+ \frac{1}{ 1393^{2} }$ باشد. کدام یک از گزینه های زیر صحیح است؟

1. $1 \leq S < \frac{4}{3}$
2. $\frac{4}{3} \leq S < \frac{7}{3}$
3. $2 \leq S < \frac{7}{3}$
4. $\frac{7}{3} \leq S < \frac{5}{2}$

Answer 1

می دانیم که برای هر $n \geq 2$ داریم:

$$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \Rightarrow \frac{1}{n} \times \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1}$$ حال با سیگما گیری داریم: $$\sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)}$$ عبارت های کناری را حساب می کنیم داریم:(از سری تلسکوپی) $$\sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} )=\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} =\frac{698}{1394}$$ برای عبارت آخر هم داریم:

$$\sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} )=\frac{1}{2-1} -\frac{1}{1393}$$ اگر به طرفین $1$ اضافه کنیم عبارت وسطی برابر $S$ میشود لذا داریم:

$$1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} < S < 1+1-\frac{1}{1393} < 2$$ پس گزینه های $3,4$ غلط هستند نشان می دهیم $S$ از $\frac{4}{3}$ بزرگتر است پس گزینه ی $2$ جواب صحیح خواهد بود. $$\frac{1}{1394} < \frac{3}{4} \\ \Rightarrow -\frac{3}{4} < -\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2}-\frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow \frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394}$$