می دانیم که برای هر $n \geq 2 $ داریم:
$$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \Rightarrow \frac{1}{n} \times \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} $$
حال با سیگما گیری داریم:
$$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} $$
عبارت های کناری را حساب می کنیم داریم:(از سری تلسکوپی)
$$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} )=\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} =\frac{698}{1394} $$
برای عبارت آخر هم داریم:
$$ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)}= \sum_{n=2}^{1393} (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} )=\frac{1}{2-1} -\frac{1}{1393} $$
اگر به طرفین $1$ اضافه کنیم عبارت وسطی برابر $S$ میشود لذا داریم:
$$1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{ n^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow
1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{ 1^{2} } + \frac{1}{ 2^{2} } +...+ \frac{1}{ 1393^{2} } < 1+ \sum_{n=2}^{1393} \frac{1}{n(n-1)} \\ \Rightarrow
1+\frac{1}{2} -\frac{1}{1394} < S < 1+1-\frac{1}{1393} < 2$$
پس گزینه های $ 3,4$ غلط هستند نشان می دهیم $ S $ از $ \frac{4}{3} $ بزرگتر است پس گزینه ی $ 2$ جواب صحیح خواهد بود.
$$ \frac{1}{1394} < \frac{3}{4} \\ \Rightarrow -\frac{3}{4} < -\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2}-\frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} \\ \Rightarrow \frac{3}{4} < 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{1394} $$
