اگر $(X,\mathcal A)$ فضای توپولوژیک هاسدورف باشد و $Y\subset X$ در اینصورت توپولوژی زیرفضایی روی $Y$ به صورت $\{A\cap Y:A\in\mathcal A\}$ تعریف می شود.
پس اگر $x\neq y$ در $Y$ باشند در اینصورت در $X$هستند و از هاسدورف بودن $X$ مجموعه های باز $U,V\in \mathcal A$ هستندکه $x\in U$ و $y\in V$ که $U\cap V=\emptyset$. حالا میتونید ادامه بدید؟
در مورد سوال دوم هم نه تنها برای تعداد متناای که برای تعداد نامتناهی نیز برقرار است. اگر $(x_i),(y_i)\in \prod_{i\in I} X_i$ دو عضو مجزا باشند انگاه برای $i_0$ ی داریم $x_{i_0}\neq y_{i_0}$ و چون $X_{i_0}$ هاسدورف است لذا مجموعه های باز $U,V\subset X_{i_0}$ وجود دارند که $x_{i_0}\in U$ و $y_{i_0}\in V$ و $U\cap V=\emptyset$ در اینصورت کافی است مجموعه های باز $\prod U_i,\prod V_i$ را در نظر بگیریم که $U_i=X_i, V_i=X_i$ بجز برای اندیس $i_0$ که $U_{i_0}=U,V_{i_0}=V$. چرا؟
