مثال ملموس از مجموعه هیچ جا چگال و رستهٔ اول بزنید، و آیا فضاهای هاسدورف از رستهٔ دوم هستند؟

Question

سلام. مثال برای مجموعه های هیچ جا چگال و از رسته اول میخواستم برای درک بهتر موضوع.فضای هاسدورف چرا از رسته دوم است؟

Answer 1

$X$ را یک فضای توپولوژیک بگیرید. یک زیرمجموعه از $X$ از رستهٔ یکُم (اول) محسوب می‌شود اگر اجتماع شمارا مجموعهٔ هیچ‌جاچگال نوشته شود. در غیر اینصورت از رستهٔ دوم شمرده می‌شود.

یک زیرمجموعه از فضای توپولوژیکمان را هیچ‌جا چگال می‌نامیدیم هر گاه بستار آن هیچ نقطهٔ درونی نداشته باشد. یک نقطه از یک مجموعه را درونی می‌نامیدیم هرگاه یک همسایگی از آن کاملا درون مجموعه قرار بگیرد. برای مثال بدیهی از مجموعهٔ هیچ‌جا چگال می‌توانید مجموعهٔ اعداد صحیح به عنوان زیرمجموعه از اعداد حقیقی با توپولوژی اقلیدسی در نظر بگیرید. یک مجموعهٔ هیچ‌جا چگال یک مجموعه از رستهٔ اول نیز هست (چون اجتماع یک، در نتیجه شمارا هیچ‌جا چگال است).

و اما قسمت آخر پرسش‌تان، فضای توپولوژیک هاسدورف الزاما از رستهٔ اول یا رستهٔ دوم نیست. برای اینکه ببینید هر دو می‌تواند روی دهد؛

• خود اعداد حقیقی با توپولوژی اقلیدسی را در نظر بگیرید، کل اعداد حقیقی به عنوان زیرمجموعه‌ای از این فضا یک مجموعهٔ از رستهٔ دوم است.

• اعداد گویا را با توپولوژی زیرفضایی از توپولوژی اقلیدسی روی $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید. این توپولوژی، هاسدورف است. کل اعداد گویا به عنوان زیرمجموعه‌ای از این فضا یک مجموعهٔ از رستهٔ اول است. هر تک‌نقطه را در نظر بگیرید، بستارش خودش می‌شود ولی هر همسایگی‌اش یک عدد گویای متمایز دیگر را در بر خواهد داشت، پس بستارش هیچ نقطهٔ درونی‌ای ندارد و در نتیجه هیچ‌جا چگال است. از طرفی چون مجموعه‌ای شماراست پس اجتماع شمارایی از تک‌نقطه‌ای‌هایش هست. پس از رستهٔ اول شد.

پس فقط با دانستن هاسدورف بودن فضا نمی‌توان نتیجه‌ای در مورد رستهٔ اول یا دوم بودنش گرفت.