به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
107 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

نشان دهید هر زیر فضای توپولوژیکی از یک فضای هاسدورف نیز هاسدورف است همینطور هر حاصلضرب متناهی از فضاهای هاسدورف نیز هاسدورف است

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر $(X,\mathcal A)$ فضای توپولوژیک هاسدورف باشد و $Y\subset X$ در اینصورت توپولوژی زیرفضایی روی $Y$ به صورت $\{A\cap Y:A\in\mathcal A\}$ تعریف می شود.

پس اگر $x\neq y$ در $Y$ باشند در اینصورت در $X$هستند و از هاسدورف بودن $X$ مجموعه های باز $U,V\in \mathcal A$ هستندکه $x\in U$ و $y\in V$ که $U\cap V=\emptyset$. حالا میتونید ادامه بدید؟

در مورد سوال دوم هم نه تنها برای تعداد متناای که برای تعداد نامتناهی نیز برقرار است. اگر $(x_i),(y_i)\in \prod_{i\in I} X_i$ دو عضو مجزا باشند انگاه برای $i_0$ ی داریم $x_{i_0}\neq y_{i_0}$ و چون $X_{i_0}$ هاسدورف است لذا مجموعه های باز $U,V\subset X_{i_0}$ وجود دارند که $x_{i_0}\in U$ و $y_{i_0}\in V$ و $U\cap V=\emptyset$ در اینصورت کافی است مجموعه های باز $\prod U_i,\prod V_i$ را در نظر بگیریم که $U_i=X_i, V_i=X_i$ بجز برای اندیس $i_0$ که $U_{i_0}=U,V_{i_0}=V$. چرا؟

دارای دیدگاه توسط
از شما بینهایت سپاسگزارم
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...