حداقل و حداکثر جملات مربع یک سه جمله ای

Question

حاصل ضرب یک سه جمله ای در خودش(یعنی مربع یک سه جمله ای ) حداقل و حداکثر چند جمله میتواند داشته باشد؟

تلاش من: من برای حداکثر شش جمله و برای حداقل چهار جمله را بدست اوردم. از طرفی حداکثر اگر هیچ کدام از جملات با هم ساده شوند مربع سه جمله ای شش جمله دارد. در مورد حداقل می دانیم مربع یک سه جمله ای حتما سه جمله را دارد و چهار جمله را نیز من بدست اورده ام . پس پرسش من به این صورت در می اید که ایا مربع یک سه جمله ای می تواند سه جمله ای باشد؟

Comments

شما مثالی دارید که حاصل مربع یک سه جمله ای کمتر از پنج جمله باشد؟دراینصورت بنویسید

---

عدد3√+2√−1رایک جمله ای منظورکنیم یا سه جمله ای ؟

---

یک جمله . هر یک جمله ای حاصل ضرب یک عدد حقیقی در توان های حسابی یک یا چند متغیر است. بنابراین هر عدد حقیقی مانند انچه شما ذکر کردید یک جمله ای است

---

ومثال شما؟

Answer 1

یک سه‌جمله‌ای یک‌متغیره در حلقهٔ چندجمله‌ای‌های با ضرایب از میدانِ $F$ ( $F[x]$) را می‌توان به شکل کلی $a_1x^{m_1}+a_2x^{m_2}+a_3x^{m_3}$ نمایش داد که هیچ یک از ضرایب صفر نیستند و توان‌ها هیچ دوتایی برابر نیستند. بدون کاستن از کلیت می‌توان فرض کرد $m_1>m_2>m_3$. با توجه به اینکه می‌شود از کل چندجمله‌ای‌مان $a_3x^{m_3}$ را فاکتور گرفت و پس از به توان دو رساندن حاصل تنها از ضرب یا تقسیم یک $a_3^2x^{2m_3}$ قابل تبدیل است که در تعداد جمله‌ها تفاوتی ایجاد نمی‌کند، پاسخ پرسش برابر با تعدادهای ممکن برای جمله‌های توانِ دویِ سه‌جمله‌ای‌های به شکلِ $ax^m+bx^n+1$ است که $m$ از $n$ بزرگتر اکید است. توان دوی این عبارت برابر است با $a^2x^{2m}+abx^{n+m}+ax^m+b^2x^{2n}+bx^n+1$. زمانی تعداد جمله‌ها کمتر می‌شود که برخی توان‌ها با هم برابر شوند. از بین ۶ عددِ $2m,m+n,m,2n,n,0$ با فرضِ $m>n\geq 1$ تنها برابری‌ای که می‌تواند رُخ بدهد یک حالت است و آن $m=2n$ است و هیچ دوتای دیگری برابر نمی‌توانند بشوند. در نتیجه این عبارت وابسته به اینکه این شرط اتفاق بیفتد یا خیر، ۶ (در حالتیکه اتفاق نیافتد) یا ۵ (در حالتیکه اتفاق بیافتد ولی ضرایب قرینه نباشند) یا ۴ (در حالتیکه اتفاق بیافتد و ضرایب قرینه باشند) جمله دارد.

Comments

اگر حمل بر جسارت نباشد بنظر بنده پاسخ شما صحیح نیست. جواب شما از لحاظ محاسباتی درست است اما شما حالتی که مثلا در جواب دو تا از عبارات قرینه هم باشند و با هم خط بخورند حساب نکرده اید.
مثالی از حرفم را ضمیمه سوال میکنم که این مثال برگرفته از کتاب ریاضی تکمیلی پایه نهم مدارس سمپاد است (صفحه 95 کتاب)
(1 منهای ، a بتوان 2 ، منهای، رادیکال دو در a ) بتوان دو

---

@Mohammadamin گفتن اشکال یک مطلب، جسارت شمرده نمی‌شود. و اتفاقا از پرسش‌کننده انتظار می‌رود که در صورت وجود اشتباه در پاسخ دریافت‌شده‌اش آن را در دیدگاه اشاره کند.
برای حذف شدن دو جمله و یا ساده‌شدنشان به یک جمله نیاز است که توان‌های آنها یکسان باشد. اگر جمله‌هایی با توان یکسان در محاسبات می‌بینید که ساده‌نشده‌اند اشاره بفرمائید. پیوستتان را نیز در صورتی‌که قرار دهید نگاه می‌اندازیم.

---

مثال را در دیدگاه بالا اضافه کردم.
متاسفانه هر چه تلاش کردم نتونستم با تایپ ریاضی اونو بنویسم.

---

@Mohammadamin پاسخ درست بود ولی اینکه جمع ضریبِ دو جملهٔ با هم ساده‌شده اگر صفر شود جمله‌ای به جای دو جمله دیگر نمی‌ماند را فراموش کرده‌بودم اثر دهم. در مورد مثال نیز به راحتی می‌توان آن را تایپ کرد برای جذر از اسلش sqrt باید استفاده کنید. برای توضیح بیشتر به این راهنماها نگاه بیندازید؛
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C-%D8%AA%D8%A7%DB%8C%D9%BE