یافتن نزدیک ترین نقطه از تابع نسبت به یک نقطه

Question

سلام دوستان ، سوال رو که گفتم، خودم خواستم حساب کنم به این صورت که از این نقطه باید یک خط خارج بشه که به تابع قائم باشه و از این طریق از نسبت شیب خط ها میتونیم این نقطه رو به دست بیاریم، اما نتونستم، فقط یک نکته وجود داره که برای حل این سوال چیزی غیر از ماشین حساب در دسترس نداریم، تا حدودی شرایط امتحان نهایی حاکمه. مشخصات نقطه x=۳ و y=0 با تشکر

Answer 1

کار خاصی ندارد. شما یک نقطه $A=(3,9)$ دارید و یک منحنی به معادلهٔ $f(x)=\frac{1}{5}(x-1)^2(x-5)^2$. یک خط که از نقطهٔ داده شده بگذرد در معادلهٔ $y-y_A=m(x-x_A)$ صدق می‌کند. نقطه را دارید. گام پسین دانستن شیب است. می‌خواهید در نقطه‌ای که منحنی را قطع می‌کند شیبش قرینه-وارونِ شیب منحنی در آن نقطه باشد. پس فرض کنید نقطهٔ برخورد خط و منحنی دارای درازا (طول) $x_0$ باشد. پس پهنایش (عرضش) برابر است با $f(x_0)$. پس نقطه برابر است با $(x_0,f(x_0))$. شیب خط مماس بر منحنی در این نقطه برابر است با $f'(x_0)$ پس باید $m$ برابر باشد با $\frac{-1}{f'(x_0)}$ مگر اینکه $f'(x_0)$ برابر با صفر باشد، در آنصورت معادلهٔ خط ما به شکل $x=x_0=x_A$ می‌شود. دست بر قضا این اتفاق در اینجا رخ می‌دهد چون زمانیکه درازا را به منحنی ۳ می‌دهید مشتق صفر می‌شود پس $x=3$ یک خط قائم بر منحنی گذرا از $A$ است. اما داستان هنوز ادامه دارد زیرا الزامی ندارد که تنها یک خط قائم یکتا از یک نقطه بر یک منحنی وجود داشته باشد. با حل کردن برابریِ $f(x_0)-0=\frac{-1}{f'(x_0)}(x_0-3)$، ۶ ریشه دارید که تنها دو تای آنها حقیقی هستند، تقریبا $1.590\sim$ و $4.469\sim$ که نسبت به $3$ تقارن دارند. در نتیجه سه خط قائم از $A$ بر خم $y=f(x)$ رسم می‌شود.

Comments

من از روش شما امتحان کردم دو ریشه ۱،۵۳ و ۴،۴۷ به دست آوردم، ممنون بسیار زیبا پاسخ دادید.

---

@ehsanhsn فردا دوباره امتحان می‌کنم ولی چون تقریب زده‌ام احتمال دارد که با پاسخ دقیق کمی تفاوت داشته باشد. اگر از روش عددی برای حل برابری استفاده کرده‌باشید باید دقت تقریب (تحلیل خطایش) را مراقب باشید تا خطای پاسخ از تعداد رقم‌هایی که ارائه می‌کنید کمتر باشد.
خوشحالم که پاسخ برایتان مفید بوده‌است.