محاسبه انتگرال $\int{\frac{dx}{1 + x^2}}$ بوسیله تجزیه کسرها

Question

می خواهیم انتگرال زیر را بوسیله تجزیه کسر ها محاسبه کنیم.

$$\int{\frac{dx}{1 +x^2}}$$ می توان نوشت: $$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2i}(\frac{1}{x-i} - \frac{1}{x + i})$$ بنابراین : $$\int{\frac{dx}{1+x^2}} = \frac{1}{2i}\ln(\frac{|x-i|}{|x+i|}) + C$$ از طرفی داریم : $$x - i = \sqrt{1 + x^2} e^{-i\tan^{-1}{\frac{1}{x}}}$$ $$x + i = \sqrt{1 + x^2} e^{i\tan^{-1}{\frac{1}{x}}}$$ بنابراین: $$\int{\frac{dx}{1+x^2}} = \frac{1}{2i}\ln(e^{-2i\tan^{-1}{\frac{1}{x}}}) + C = -\tan^{-1}{\frac{1}{x}} + C$$

که البته پاسخی نادرست است( یا به شکل موردنظر ما نیست). استدلال گفته شده چه مشکلاتی داشت و روش صحیح تبدیل عبارت بدست آمده به یک عبارت حقیقی چیست؟

Answer 1

ابتدا چند جمله ایی را در $\mathbb{C}[x]$ تجزیه میکنیم , خواهیم داشت :

$$1+x^2=(x+i)(x-i)$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{A(x-i)+B(x+i)}{1+x^2}$$ از اینجا بدست میاوریم که $A=i/2$ و $B=-i/2$ در نتیجه انتگرال برابر خواهد شد با :

$$\int \dfrac{dx}{1+x^2}=\int \left(\dfrac{i/2}{x+i}+\dfrac{-i/2}{x-i} \right) dx =\dfrac{i}{2}\ln{\left|\dfrac{x+i}{x-i}\right|}+c$$

و از رابطه اویلر خواهیم داشت :

$$\frac {x+i}{x-i}=e^{-2i\tan^{-1} x}$$

در نتیجه انتگرال برابر خواهد شد با :

$$\int \dfrac{dx}{1+x^2} =\dfrac{i}{2}\ln{\left|\dfrac{x+i}{x-i}\right|}+c=\tan^{-1}x+c$$