با توجه به اینکه $ h_{ij}= \int_0^1 x^{i-1} x^{j-1} dx= \int_0^1 \phi _{i}(x) \phi _{j}(x) dx= \frac{1}{i+j-1} $ تقارن ماتریس هیلبرت بدیهیه. برای معین مثبت بودن از تعریف استفاده میکنیم
$ x^{t} Hx= \sum_1^n \sum_1^n h_{ij} x_{i} x_{j}= \sum_1^n \sum_1^n x_{i} x_{j}\int_0^1 \phi _{i}(x) \phi _{j}(x) dx= \int_0^1 \sum_a^b x_{i} \phi _{i}(x) \sum_a^b x_{j} \phi _{j}(x)dx= \int_0^1 y^{2} (x)dx>0 $
که $y(t)= \sum_a^b x_{j} \phi _{j}(x)$.
