Question

اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیحِ مثبت باشند و $a^{2}+b^{2}$ بر $ab+1$ بخش‌پذیر باشد، اثبات کنید که $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$، مربع کامل است.

Comments

این سوال مربوط به سوالات1988 imo و اثبات های زیادی براش ذکر شده. میتونید با جستجو در سوالات المپیاد جواب رو ببینید.
جوابی که در http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?&t=57282
توسط james digol ارائه شده برای این سوال بسیار جالبه.

---

من زبانم خوب نیست متاسفانه اگه میشه اینو ترجمه کنید ممنون میشم

---

سلام در کتاب نظریه اعداد مهدی صفا حل شده هم

Answer 1

اگر a یا b صفر باشد حکم برقرار است در غیر این صورت چون مقسوم نسبت به یکی از متغیرها درجه 2 ومقسوم علیه نسبت به آن متغیر درجه یک میباشد خارج قسمت یک جمله ای یا دو جمله ای خواهد بود.ثابت می کنیم خارج قسمت دو جمله ای نمیتواند باشد چون باقیمانده باید صفر باشد وباقیمانده مجموع مربع یک دو جمله ای است که هر گز صفر نمی باشد بنا براین خارج فسمت یک جمله ای است و باقیمانده $ \frac{a}{b} +b^2 $- =0 خواهد بود یعنی$ \frac{a}{b} =b^2$ در نتیجه $a=b^3$ که اگر این مقدار راجایگذاری کنیم خارج قسمت $b^2$ میشود که مربع کامل است.