به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
292 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

یک کره آهنی با شعاع 3 واحد و یک استوانه با شعاع قاعده 4 واحد و ارتفاع 7 واحد در اختیار داریم که تا ارتفاع 3 واحدی دارای آب است.کره را داخل استوانه قرار می‌دهیم.ارتفاع آب داخل استوانه چند واحد تغییر می‌کند؟

این سوال در کتاب IQ هندسه گاج و در فصل چهارم(شکل های فضایی) هندسه 1 (هندسه اول دبیرستان) طرح شده است. نظر من به عنوان یک دانش آموز: گروه مولفین اینگونه تصور کرده‌اند که کل کره آهنی به زیر آب رفته و حجم آب به اندازه 36π بالا می‌آید یعنی ارتفاع 2/25 واحد تغییر میکند اما طبق محاسبات من کل کره زیر آب نمیرود.برای نشان دادن این موضوع ابتدا کره را نصف میکنیم‌ و فقط یک نیم کره را به داخل استوانه می‌اندازیم.چون شعاع کره 3 واحد و برابر ارتفاع آب داخل مخزن است پس حتما این نیمکره زیر آب رفته و 18π واحد حجم از آب را  بالا می‌برد.حال با علم به اینکه حجم نیمکره دیگر از حجم یک استوانه به شعاع قاعده 3 واحد و ارتفاع 3 واحد کمتره است بجای نمیکره دیگر یک استوانه با ابعاد ذکر شده در داخل استوانه اصلی قرار میدهیم.با اندکی محاسبات درمیابیم که اگر بخواهیم فضای بین این دو استوانه را تا سقف استوانه کوچک پر کنیم به 21π واحد حجم از آب نیاز داریم در صورتی در مرحله قبل دیدیم از نیمکره اول فقط 18π واحد حجم آب بالا می‌آید.پس واضح است که کل کره زیر آب نمی‌رود و جواب گروه مولفین نادرست است.

حال اگر تفکر من مشکل دارد به عنوان یک دانش آموز بپذیرید و راهنمایی ام کنید.با تشکر

دارای دیدگاه توسط
+1
@j.ghavi درست است کل گوی زیر آب نمی‌رود، اگر پاسخ را ۲/۲۵ داده‌اند اشتباه است.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
 
بهترین پاسخ

حجم کره به شعاع $r$ برابر است با $\frac{4}{3}\pi r^3$. شعاع گوی، ۳ است پس حجمش $36\pi$ واحد مکعب می‌شود.

استوانه با شعاع قاعدهٔ $R$ و ارتفاع $h$ دارای حجمِ $\pi R^2h$ است. شعاع قاعدهٔ ظرف استوانه‌ای، ۴ و ارتفاعش ۷ است. پس حجمش $112\pi$ واحد مکعب است. حجم اشغال شده از آن با آب برابر با حجم استوانه با قاعدهٔ یکسان ولی ارتفاع ۳ است پس این حجمِ اشغال شده $48\pi$ است.

اکنون گوی را داخل ظرف بیندازید، مقدار فضای اشغال شده برابر با حجم آب بعلاوهٔ حجم گوی است یعنی $84\pi$.

اگر فرض کنیم گوی به طور کامل داخل آب برود آنگاه یک استوانه با قاعدهٔ دایره‌ای با شعاع ۴ و حجمِ $84\pi$ واحد مکعب داریم. یک استوانه با قاعدهٔ یکسان و چنین حجمی نیاز به چه اندازه‌ارتفاعی دارد؟ $\frac{84\pi}{16\pi}=5.25$ پس ارتفاع آب پس از ورودِ گوی برابر با این عدد است که ۲/۲۵ واحد از پیش از ورودِ گوی بالاتر است.

چون قطر کره ۶ واحد است و ۵/۲۵ از آن کمتر است پس حرف شما درست است و فرض اینکه گوی به طور کامل به زیر آب برود ناممکن است.

اینک پاسخ درست چه می‌باشد؟ بیاییم ارتفاع جدید آب که فعلا آن را نمی‌دانیم، $h_0$ بنامیم. با استفاده از انتگرال حجم شکل زیر برابر است با: $$\pi R^2h_0+\int_{h_0-r}^{2r-r}\pi (\sqrt{r^2-x^2})^2dx$$ enter image description here

چون این حجم باید برابر با جمع حجم گوی و آب شود داریم؛ $$84\pi=(16\pi h_0)+\Big((18\pi)-\big(\pi(-\frac{(h_0-3)^3}{3}+9h_0-27)\big)\Big)$$ که با ساده‌سازی یک معادلهٔ درجهٔ سه داریم: $$\pi(\frac{1}{3}h_0^3-3h_0^2+16h_0-48)=0$$ که دو ریشهٔ مختلط و یک ریشهٔ حقیقی دارد. ریشهٔ حقیقی با تقریب دو رقم اعشار برابر است با 5.11. پس ارتفاع آب تقریبا 2/11 واحد بالا می‌آید نه ۲/۲۵.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
نمایش از نو توسط

بنده بعد از خواندن پاسخ سوال http://math.irancircle.com/2045/

اقدام به تشکیل مجدد معادله کردم.لطفا پاسخ این سوال را با دقت مطالعه نمایید. ابتدا میزان تغییر ارتفاع اب مخزن را $ \alpha $ در نظر میگیریم حال داریم : $$ 16 \pi (3+ \alpha) + \int_ \alpha ^3 \pi y^{2} dx = 84 \pi $$ enter image description here

حال با فرض $y^{2}+ x^{2}=9 $ (به پاسخ سوال 2045 مراجعه نمایید) و ساده کردن این عبارت به معادله زیر میرسیم : $$ \alpha^{3} + 21 \alpha = 54 $$ تنها جواب حقیقی این معادله با تقریب دو رقم اعشار $2/11$ است.

دارای دیدگاه توسط
نمایش از نو توسط
+1
@AmirHosein
@j.ghavi
سلام.
الان سوال در مورد به دست آوردن حجم یک کلاه کروی است؟(یعنی آن قسمتی از کره که از آب بیرون می زند)
چیزی که من میبینم اینه که جواب هر دو درست هست. البته جواب شما دقیقا همان راه حل آقای دکتر AmirHosein هست فقط یه کم نمادگذاری ها فرق میکنه. ایشون $h_0$ رو گرفتن مقدار ارتفاع کلی بعد از ورود گوی و شما $\alpha$ رو گرفتین مقدار تغییر ازتفاع بعد از ورود گوی پس $h_0=3+\alpha$ . اگر در فرمول اقای امیرحسین به جای $h_0$ قرار دهید $3+\alpha$ به همان فرمول شما می رسیم.
دقیقا متوجه نمیشم الان مشکل چه هست؟
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...