Question

یک منبع کروی شکل به شعاع یک متر پر از آب داریم. این منبع از طریق لوله‌ای که در کف آن قرار دارد، به یک منبع کروی دیگر با شعاع متفاوت $r$ وصل می‌شود. منبع دوم در ابتدا خالی است. پس از تعادل، ارتفاع آب (از کف) در دو مخزن برابر $h$ می‌شود.

1-معادله‌ای برای پیدا کردن $h$ بنویسید.

2-کوچکترین مقدار مجاز $r$ چقدر است؟

Comments

@binam آیا پرسش شکل داشته‌است؟ مشخص نیست که دو کره نسبت به هم در چه وضعیتی هستند، آیا کرهٔ دوم زیر کرهٔ نخست است، در کنار آن کف هر دو تراز شده است؟ یا کف دو کره نسبت به هم در ارتفاع متفاوتی هستند؟ و خیلی حالت‌های دیگر، اینکه لوله به کف آن دو وصل شده‌است به تنهایی جواب را مشخص نمی‌کند، ارتفاع کف دو کره نسبت به هم نیز مهم است.

Answer 1

• حجم قطاع مخروطی از کره به صورت زیر است. $$V_1= \frac{2}{3} \pi r^2 h $$ از حجم فوق حجم مخروط کم کنیم به فرمول زیر می رسیم $$V_2= \frac{\pi}{6}h^2 (3r-h) $$ با فرض اینکه دو کره روی یک سطح تراز قرار دارند و از حجم آب درون لوله ارتباطی نیز صرف نظر می کنیم.
• الف) با استفاده از فرمول اخیر داریم $$ \frac{\pi}{6} h^2 (3-h)+\frac{\pi}{6}h^2 (3r-h)= \frac{4\pi}{3} $$ در نتیجه پس از ساده کردنمعادله زیر را داریم: $2h^3-3h^2 (1+r)+8= 0 $
• ب) برای کمترین r، حجم کره به شعاع rبایدپر شود در این صورت داریم $$h=2r \Rightarrow 2 r^3+3r^2 - 2=0 $$ این معادله یک جواب مثبت تقریبی $r=0.68 $ دارد. که این کمترین مقدار ممکن می باشه.