Question

آیا عدد $۱۰^{n} +1$ به ازای هر عدد طبیعی n به بجز ۲ مرکب خواهد بود؟

Answer 1

نخست اینکه $10^n+1$ برای $n=1,2$ اول است (نه فقط ۲). اکنون توجه کنید که برای هر عدد طبیعی‌ایِ $n$ دو عدد طبیعیِ یکتایِ $m$ و $k$ای یافت می‌شوند که $n=(2^m)k+(2^{m-1})$، برای اینکه ببینید چرا، با $m=1$ تمام اعداد فرد را دارید، سپس نصف اعداد زوج با $m=2$ پوشانده می‌شوند. تنها عددهای به شکل $4k$ می‌مانند. اما این دسته به دو گروهِ $8k$ و $8k+4$ افراز می‌شود، گروه دوم با $m=3$ پوشانده می‌شوند در مرحلهٔ بعد گروه اول به دو گروه جدیدِ $16k$ و $16k+8$ افراز می‌شود و همینطور این روند ادامه پیدا می‌کند. هر عدد طبیعی‌ای دقیقا در یکی از این دسته‌ها قرار می‌گیرد و به یک شکل یکتا بیان می‌شود.

اکنون توجه کنید که

$$10^{2^m}=\big((10^{2^{m-1}}+1)-1\big)^2\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;(-1)^2=1$$ بنابراین $$10^{2^mk+2^{m-1}}=10^{2^{m-1}}(10^{2^m})^k+1\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;10^{2^{m-1}}(1)+1\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;0$$ پس برای هر $n$ کافیست نمایشِ $2^mk+2^{m-1}$ -ِ آن را بیابید سپس $10^{2^{m-1}}+1$ عددِ $10^{2^mk+2^{m-1}}+1$ یعنی $10^n+1$ را می‌شمارد.

پرسش زیبایی بود چون برای نمونه ۱۱ تمام $10^{2k+1}+1$ها و ۱۰۱ تمام $10^{4k+2}+1$ها و ۱۰۰۰۱ تمام $10^{8k+4}+1$ها و ... را می‌شمارد.

اما خود $10^{2^m}+1$ها باید بررسی شوند. برای $m=1,0$ عددهای اول داریم ۱۱ و ۱۰۱ ولی برای $m=2,3,4,5$ عددهایی مرکب داریم زیرا

$$\begin{array}{lll} 73 & \mid & 10^4+1\\ 17 & \mid & 10^8+1\\ 353 & \mid & 10^{16}+1\\ 19841 & \mid & 10^{32}+1 \end{array}$$ ولی نظم خاصی که ثابت کند $10^{2^m}+1$ها برای $m\geq 2$ اول نیستند به ذهنم نمی‌رسد. ممکن است برای $m$ بسیار بزرگی به عدد اولی برخورد کنیم.

Comments

ممنون از لطف بیکران شما.
شما دقیقا به این حدیث که زکات العلم نشره(زکات علم یاد دادن آن است)عمل کرده اید.بازم ممنون از وقتی که بابت پاسخ گویی می گذارید.