نخست اینکه $10^n+1$ برای $n=1,2$ اول است (نه فقط ۲). اکنون توجه کنید که برای هر عدد طبیعیایِ $n$ دو عدد طبیعیِ یکتایِ $m$ و $k$ای یافت میشوند که $n=(2^m)k+(2^{m-1})$، برای اینکه ببینید چرا، با $m=1$ تمام اعداد فرد را دارید، سپس نصف اعداد زوج با $m=2$ پوشانده میشوند. تنها عددهای به شکل $4k$ میمانند. اما این دسته به دو گروهِ $8k$ و $8k+4$ افراز میشود، گروه دوم با $m=3$ پوشانده میشوند در مرحلهٔ بعد گروه اول به دو گروه جدیدِ $16k$ و $16k+8$ افراز میشود و همینطور این روند ادامه پیدا میکند. هر عدد طبیعیای دقیقا در یکی از این دستهها قرار میگیرد و به یک شکل یکتا بیان میشود.
اکنون توجه کنید که
$$10^{2^m}=\big((10^{2^{m-1}}+1)-1\big)^2\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;(-1)^2=1$$
بنابراین
$$10^{2^mk+2^{m-1}}=10^{2^{m-1}}(10^{2^m})^k+1\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;10^{2^{m-1}}(1)+1\;\overset{(10^{2^{m-1}}+1)}{\equiv}\;0$$
پس برای هر $n$ کافیست نمایشِ $2^mk+2^{m-1}$ -ِ آن را بیابید سپس $10^{2^{m-1}}+1$ عددِ $10^{2^mk+2^{m-1}}+1$ یعنی $10^n+1$ را میشمارد.
پرسش زیبایی بود چون برای نمونه ۱۱ تمام $10^{2k+1}+1$ها و ۱۰۱ تمام $10^{4k+2}+1$ها و ۱۰۰۰۱ تمام $10^{8k+4}+1$ها و ... را میشمارد.
اما خود $10^{2^m}+1$ها باید بررسی شوند. برای $m=1,0$ عددهای اول داریم ۱۱ و ۱۰۱ ولی برای $m=2,3,4,5$ عددهایی مرکب داریم زیرا
$$\begin{array}{lll}
73 & \mid & 10^4+1\\
17 & \mid & 10^8+1\\
353 & \mid & 10^{16}+1\\
19841 & \mid & 10^{32}+1
\end{array}$$
ولی نظم خاصی که ثابت کند $10^{2^m}+1$ها برای $m\geq 2$ اول نیستند به ذهنم نمیرسد. ممکن است برای $m$ بسیار بزرگی به عدد اولی برخورد کنیم.
