Question

ثابت کنید قانون متوازی الاضلاع در $ l^{2} $ صادق است

Comments

لطفا در طرح سوال دقت فرمایید و تمام فرضیات و جزئیات سوال رو بنویسید تا کسی که از بیرون سوال رو نگاه میکنه سوال رو کامل بفهمه

Answer 1

از آنجایی که $ l^{2} $ فضای هیلبرت است داریم $ \| f\|^{2} = < f,f > $

$$\begin{align} \| f+g\|^{2} + \| f-g\|^{2} &=< f+g,f+g >+< f-g,f -g>\\ &=(< f,f >+< f,g>+< g,f >+< g,g >)\\ &+(< f,f >-< f,g>-< g,f >+< g,g >)\\ &=2< f,f >+2< g,g >\\ &=2 \| f\|^{2}+2 \| g\|^{2} \end{align}$$ لذا قانون متوازی الاضلاع برقرار است.

Comments

به صورت مستقیم نیز بدون استفاده از هیلبرت بودن فضا با استفاده از تعریف ضرب  روی $ l^{2} $ یعنی
  $   < x , y > =  \sum_{i \in I} x(i) \overline{y(i)}   $ و در نتیجه  
$   \parallel x \parallel ^{2} =  \sum_{i \in I}   \mid x(i)  \mid ^{2}   $  نیز میتوان بسادگی رابطه ی متوازی الاضلاع را ثابت کرد.