من فکر میکنم که شما حتی به تعریف نُرم هم نگاه نکرده باشید. از یکی از با صلابتترین و معروفترین کتابهای آنالیز ریاضی، کتاب «آنالیز حقیقی و مختلط» والتر رودین تعریف نرم را مرور میکنیم
فضای برداری
$X$
را یک فضای خطی نرمدار نامیم اگر به هر
$x\in X$
یک عدد حقیق نامنفی مانند
$\Vert x\Vert$
چنان مربوط شده باشد که
(آ) به ازای هر
$x$
و
$y$
در
$X$،
$\Vert x+y\Vert\leq \Vert x\Vert+\Vert y\Vert$،
(ب) اگر
$x\in X$
و
$\alpha$
اسکالر باشد، آنگاه
$\Vert \alpha x\Vert=\vert \alpha\vert \Vert x\Vert$،
(ج) اگر
$\Vert x\Vert=0$،
آنگاه
$x=0$.
اگر هر فضای خطی با متر تعریف شده بوسیله نرمش تام (complete) باشد، فضای باناخ نامیده میباشد.
قبل از اثبات تمرین بالا شاید خالی از لطف نباشد چند نکته دیگری رو درباره خوشتعریفی این رابطه بالا بنویسم.
فرض کنیم
$X$
و
$Y$
فضاهای نرمداری بوده و
$T:D(T)\to Y$
یک عملگر خطی باشد که در آن
$D(T)\subset X$.
عملگر
$T$،
یک عملگر خطی کراندار خوانده میشود، اگر عدد حقیقی نامنفی
$c$
به ازای هر
$x\in D(T)$
به گونهای باشد که
$$\Vert T(x)\Vert_{y}\leq c\Vert x\Vert_{x},$$
که در آن
$\Vert .\Vert_{x}$
و
$\Vert .\Vert_{y}$
به ترتیب نرمهای فضاهای نرمدار
$X$
و
$Y$
میباشند.
حال بیایید این سوال را بپرسیم که کوچکترین
$c$
چه میتواند باشد اگر
$$\frac{\Vert T(x)\Vert}{\Vert x\Vert}\leq c\;\;\; (x\neq 0).$$
رابطه بالا نشان میدهد که
$c$
کوچکترین کران بالا برای
$\frac{\Vert T(x)\Vert}{\Vert x\Vert}$
وقتی که
$0\neq x\in D(T)$.
این سوپریمم را با
$\Vert T\Vert$
نشان میدهیم، بنابراین،
$$\Vert T\Vert=\sup_{x\in D(T),\; x\neq 0}\frac{\Vert T(x)\Vert}{\Vert x\Vert}=\sup_{x\in D(T),\; x\neq 0}\Vert T(\frac{x}{\Vert x\Vert})\Vert=\sup_{\Vert x\Vert= 1,\; x\neq 0}\Vert T(x)\Vert.$$
با توجه به اینکه برای هر عملگر خطی
$T(0)=0$
لذا نهایتا داریم که
$$\Vert T\Vert=\sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert T(x)\Vert.$$
حالا بعد از اثبات خوشتعریفی بیایید به حل تمرین اصلی بپردازیم
اولا از خاصیت زیرجمعی سوپریمم داریم که
$$\sup_{\Vert x\Vert= 1}\Vert (T+S)(x)\Vert\leq \sup_{\Vert x\Vert=1}\Vert T(x)\Vert+\sup_{\Vert x\Vert= 1}\Vert S(x)\Vert$$
از اینجا میتوان قسمت (آ) را نتیجه گرفت. و همچنین از
$$\sup_{\Vert x\Vert= 1}\Vert \alpha T(x)\Vert=\vert \alpha\vert\sup_{\Vert x\Vert= 1} \Vert T(x)\Vert$$
قسمت (ب) حاصل میشود. اثبات قسمت (ج) هم واضح میباشد.
