$M⨂N$ عضوی مثل $u$دارد که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N$مثل$y$ داریم $u\neq x\otimes y$

Question

مثالی برای$R$-مدول راستی مثل $M$ و$R$مدول چپی مثل $N$بااین ویژگی که$ M \bigotimes N$,روی $R$عضوی مثل $u$دارد که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N$ مثل $y $ $$u \neq x \otimes y$$.

Answer 1

فرض کنید $M$ یک $R$-مدول(آزاد) با پایه ی $ \{ e_{1} , e_{2} \} $ باشد. $ N$ را هم برابر $ M $ میگیریم. میدانیم رابطه زیر برقرار است .$$ \sum_{i=1}^n a_{i} e_{i} \otimes \sum_{j=1}^n b_{j} e_{j} =\sum_{i,j=1}^n a_{i} b_{j} e_{i} \otimes e_{j} \tag{1} \label{1} $$ حال قرار میدهیم $u=e_{1} \otimes e_{1}+e_{2} \otimes e_{2} $ و ثابت میکنیم که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N=M$ مثل $y $ داریم: $$u \neq x \otimes y$$.

فرض خلف: فرض $ x,y $ موجود باشند که $ u = x \otimes y $

هر عضو دلخواه از $M $ به صورت $a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ است پس فرض کنید $x=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ و$y=b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2} $ باشند.

طبق $ \eqref{1}$ داریم:

$$x \otimes y=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} \otimes b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2}=a_{1} b_{1} e_{1} \otimes e_{1}+a_{1} b_{2} e_{1} \otimes e_{2} + a_{2} b_{1} e_{2} \otimes e_{1}+a_{2} b_{2} e_{2} \otimes e_{2}$$ که اگر برابر $u $باشد باید داشته باشیم: $$a_{1} b_{1}=1 \ \ \ \, a_{1} b_{2}=0 \ \ \ \ , a_{2} b_{1} =0 \ \ \ \,a_{2} b_{2} =1$$

دو رابطه ی اول و آخر بیان میکنند که $a_{1} $و$ b_{2}$ وارون پذیرند اما این با $ a_{1} b_{2}=0 $ در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.