فرض کنید $M$ یک $R$-مدول(آزاد) با پایه ی $ \{ e_{1} , e_{2} \} $ باشد. $ N$ را هم برابر
$ M $ میگیریم. میدانیم رابطه زیر برقرار است
.$$ \sum_{i=1}^n a_{i} e_{i} \otimes \sum_{j=1}^n b_{j} e_{j} =\sum_{i,j=1}^n a_{i} b_{j} e_{i} \otimes e_{j} \tag{1} \label{1} $$
حال قرار میدهیم $u=e_{1} \otimes e_{1}+e_{2} \otimes e_{2} $ و ثابت میکنیم که به ازای هر عضواز$M$مثل $x$وهر عضو از$N=M$ مثل $y $ داریم:
$$u \neq x \otimes y$$.
فرض خلف: فرض $ x,y $ موجود باشند که $ u = x \otimes y $
هر عضو دلخواه از $M $ به صورت $a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ است پس فرض کنید
$x=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} $ و$y=b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2} $ باشند.
طبق $ \eqref{1}$ داریم:
$$x \otimes y=a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2} \otimes b_{1} e_{1}+b_{2} e_{2}=a_{1} b_{1} e_{1} \otimes e_{1}+a_{1} b_{2} e_{1} \otimes e_{2} + a_{2} b_{1} e_{2} \otimes e_{1}+a_{2} b_{2} e_{2} \otimes e_{2}$$
که اگر برابر $u $باشد باید داشته باشیم:
$$a_{1} b_{1}=1 \ \ \ \, a_{1} b_{2}=0 \ \ \ \ , a_{2} b_{1} =0 \ \ \ \,a_{2} b_{2} =1$$
دو رابطه ی اول و آخر بیان میکنند که $a_{1} $و$ b_{2}$ وارون پذیرند اما این با $ a_{1} b_{2}=0 $ در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.
