ابتدا دنباله را به صورت زیر مینویسیم :
$$x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} \ \ \ : \ \ x_0:=\sqrt{a}$$
ابتدا ثابت میکنیم که دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگراست . برای این کار تابع $f $ با ضابطه $f(x)=\sqrt{x+a}$ در نظر بگیرید . که $x_f=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ نقطه ثابت تابع $f$ است .واضح است که تابع $f$ تابع اکید صعودی است . در نتیجه دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ دنباله صعودی است . و همچنین چون $x_0=\sqrt{a} < x_f$ و دنباله صعودی است خواهیم داشت $x_{n+1}=f(x_n) < f(x_f)=x_f$ درنتیجه با استقرای ساده میتوان ثابت کرد که دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ از بالا کراندار است توسط $x_f$ .
بنابراین طبق قضیه وایرشتراس دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $ .
حال که اثبات کردیم همگراست میتوان نوشت که :
$$L = \lim_{n\to\infty}x_n \\ L=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a +x_n}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}(a+x_n)}=\sqrt{a+L}$$
$$L^2-L-a=0 $$
$$L=\frac{1+ \sqrt{1+4a}}{2}$$
