فرض کنیم دنباله $p_{n} $ به $p$ همگرا باشد. در این صورت برای هر $ \varepsilon >0$ وجود دارد $N$ طبیعی به طوری که برای هر $n \geq N$ داریم $ | p_{n} -p|< \varepsilon $. حالا اگه $ p_{ n_{k} } $ زیردنباله دلخواه باشه طبق تعریف $1 \leq n_{1} < n_{2} <...< n_{k} <...$. داریم $ n_{1} \geq 1 $ فرض کنیم $ n_{k} \geq k $ آنگاه $ n_{k+1} \geq n_{k}+1 \geq k+1$ پس به استقراء برای هر $k$ داریم $ n_{k} \geq k $ پس برای همه $k \geq N$ داریم $ n_{k} \geq n_{N} \geq N $ پس $|p_{ n_{k} }-p|< \varepsilon $ .
برعکس فرض کنیم هر زیردنباله همگرا باشه اونوقت چون خود دنباله یه زیردنباله از خودش محسوب میشه همگرا میشه.
