محاسبه حد تابع کسری- صورت کسر مجموعی از توابع جزء صحیح

Question

حاصل

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{[x]+[ x^{2} ]+...+[ x^{n} ]}{ x^{n} }$$

برای $x>1$ محاسبه کنید.

Answer 1

راه حلی که خودم بهش رسیدم اینه که می توان از رابطه $[x]=x- \alpha$ با شرط $0 \leq \alpha< 1$ پیش بریم که در نهایت به مقدار 1 رسیدم. کار به صورت زیر است:

$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{[x]+[ x^{2} ]+...+[ x^{n} ]}{ x^{n} }=lim_{n \rightarrow \infty } \frac{( x - \alpha _{1} )+(x^{2}- \alpha _{2} )+(x^{3}- \alpha _{3} )+ \ldots +(x^{n}- \alpha _{n} )}{ x^{n} }=lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ x+x^{2}+x^{3} \ldots +x^{n} }{ x^{n}}- lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+ \ldots +\alpha _{n}}{ x^{n} }=1-0=1$