به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
487 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط sahar3

حاصل حد هاي زير را بدست بياوريد

خيلي ممنون

$$ \lim_{x \rightarrow a}kf(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(x)×g(x) =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(x) \pm g(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(g(x))=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} (f(x))^{n} =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} |f(x)|=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}[f(x)]=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} log_{f(x)} ^{g(x)} =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}sin(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} cos(x)=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}tan(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}cot(x)=? $$

$a$ ميتواند عدد نسبي يا ثابت يا بي نهايت باشد

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط

سلام، این عبارات را میشه با قضایای حد به دست آورد که این قضایا تقریبا در هر کتاب ریاضی عمومی نظیر لیتهلد، توماس، سیلورمن و.... پیدا کرد

توسط fardina
بله دقیقا. و واقعا سوال خسته کننده ایه و نیازمند نوشتن کتاب. دانشجو باید این مطالب رو در کتاب خونده باشه و مشکلاتشو به طور مشخص از هر کدام بپرسه.
+1 امتیاز
توسط fardina

بعضی از این سوالات تکراری هستند و میتونید در اینجا بعضیاشونو ببینید:

http://math.irancircle.com/3965

http://math.irancircle.com/3964

  • اگر $f(x)\to a$ در اینصورت $kf(x)\to ka$ به عبرات دیگر عدد ثابت از حد بیرون می آید یعنی $\lim_{x\to a}kf(x)=k\lim_{x\to a}f(x)$

بقیه سوالات رو هم کافیه حد گرفتن از توابع مرکب رو بلد باشید:

اگر $\lim_{x\to a}f(x)=b$ و $g$ در $b$ پیوسته باشد یعنی $\lim_{x\to b}g(x)=g(b)$ در اینصورت $\lim_{x\to a}g(f(x))=g(b)$

به عبارت دیگر حد از توابع پیوسته عبور می کند یعنی $\lim_{x\to a}g(f(x))=g(\lim_{x\to a}f(x))$

  • برای محاسبه ی $\lim_{x\to a}(f(x))^n$ کافی است توجه کنیم که این تابع ترکیب توابع $g(x)=x^n$ و $f(x)$ است یعنی $\lim_{x\to a}(f(x))^n=\lim_{x\to a}g(f(x))$

پس اگر فرض کنیم $f(x)\to b$ در اینصورت $\lim_{x\to a}(f(x))^n=b^n$

(البته می توانستیم از این نکته استفاده کنیم که اگر $f(x)\to a, g(x)\to b$ در اینصورت $\lim f(x)\times g(x)=a\times b$ پس $(f(x))^2=f(x)\times f(x)\to a\times a=a^2$ و بعد با استقرا برای توان $n$ هم ثابت می شود.)

  • اگر $f(x)\to b$ در اینصورت $\sqrt[n]{f(x)}\to \sqrt[n]a$ زیرا ترکیب توابع $\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}=\sqrt[n]b$

  • برای قدر مطلق هم باز هم ترکیب توابع قدرمطلق و $f(x)$ است لذا $\lim_{x\to a}|f(x)|=|\lim_{x\to a}f(x)|$

  • برای توابع $\lfloor f(x)\rfloor$ چون جزصحیح در نقاط صحیح پیوسته نیست پس نمی توانیم از نکته که گفته شد استفاده کنیم. باید ببینیم وقتی که $x\to a$ تابع $f(x)$ به سمت چه عددی میل می کند. چنانچه به سمت یک عدد صحیح $k$ میل کند باید از دو طرف ببینیم $f(x)\to k^+$ یا $f(x)\to k^-$ و با توجه به هر شرایطی جواب میتونه متفاوت باشه.

  • برای $f(x)^{g(x)}$ میتونه حالات مختلفی پیش بیاد. از جمله $0^0$ و $1^\infty$ و $\infty^0$ حالات مبهم هستند(اینجا رو ببینید http://math.irancircle.com/3952 )

در این حالت میتونید $f(x)^{g(x)}$ رو به صورت $e^{f(x)\ln g(x)}$ بنویسید.

  • $\log_{g(x)}f(x)=\frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}$ بنابراین باید $f(x), g(x) > 0$ باشند. و سپس می تونید از ترکیب توابع استفاده کنید. اگر $f(x)\to a> 0$ و $g(x)\to b> 0$ و $l\neq 1$ در اینصورت $\ln f(x)\to \ln a> 0$ و $\ln g(x)\to \ln b$ .

  • توابع $\sin $ و $\cos$ توابعی پیوسته هستند لذا $\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$ و $\lim-{x\to a}\cos x=\cos a$

  • تابع $\tan$ به جز در نقاط به صورت $k\pi\pm \frac{\pi}2$ پیوسته بوده و بنابراین $\lim_{x\to a}\tan x=\tan a$ اما در نقاطی که پیوسته نیست یعنی $ k\pi\pm \frac{\pi}2$ تانژانت ممکن اس به $\infty$ یا $-\infty$ میل کند.

در مورد $\cot x$ هم به طور مشابه. روی دامنه اش پیوسته است اما در نقاط به صورت $k\pi\quad k\in\mathbb Z$ که جزو دامنه نیستند ممکن است به $+\infty$ یا $-\infty$ میل کند.

و $\cot$ به جز در نقاط

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...