قضاياي محاسبه حد

Question

حاصل حد هاي زير را بدست بياوريد

خيلي ممنون

$$ \lim_{x \rightarrow a}kf(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(x)×g(x) =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(x) \pm g(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(g(x))=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} (f(x))^{n} =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} |f(x)|=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}[f(x)]=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} =? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} log_{f(x)} ^{g(x)} =?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}sin(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a} cos(x)=?$$

$$ \lim_{x \rightarrow a}tan(x)=? $$

$$ \lim_{x \rightarrow a}cot(x)=? $$

$a$ ميتواند عدد نسبي يا ثابت يا بي نهايت باشد

Answer 1

سلام، این عبارات را میشه با قضایای حد به دست آورد که این قضایا تقریبا در هر کتاب ریاضی عمومی نظیر لیتهلد، توماس، سیلورمن و.... پیدا کرد

Comments

بله دقیقا. و واقعا سوال خسته کننده ایه و نیازمند نوشتن کتاب. دانشجو باید این مطالب رو در کتاب خونده باشه و مشکلاتشو به طور مشخص از هر کدام بپرسه.

Answer 2

بعضی از این سوالات تکراری هستند و میتونید در اینجا بعضیاشونو ببینید:

http://math.irancircle.com/3965

http://math.irancircle.com/3964

• اگر $f(x)\to a$ در اینصورت $kf(x)\to ka$ به عبرات دیگر عدد ثابت از حد بیرون می آید یعنی $\lim_{x\to a}kf(x)=k\lim_{x\to a}f(x)$

بقیه سوالات رو هم کافیه حد گرفتن از توابع مرکب رو بلد باشید:

اگر $\lim_{x\to a}f(x)=b$ و $g$ در $b$ پیوسته باشد یعنی $\lim_{x\to b}g(x)=g(b)$ در اینصورت $\lim_{x\to a}g(f(x))=g(b)$

به عبارت دیگر حد از توابع پیوسته عبور می کند یعنی $\lim_{x\to a}g(f(x))=g(\lim_{x\to a}f(x))$

• برای محاسبه ی $\lim_{x\to a}(f(x))^n$ کافی است توجه کنیم که این تابع ترکیب توابع $g(x)=x^n$ و $f(x)$ است یعنی $\lim_{x\to a}(f(x))^n=\lim_{x\to a}g(f(x))$

پس اگر فرض کنیم $f(x)\to b$ در اینصورت $\lim_{x\to a}(f(x))^n=b^n$

(البته می توانستیم از این نکته استفاده کنیم که اگر $f(x)\to a, g(x)\to b$ در اینصورت $\lim f(x)\times g(x)=a\times b$ پس $(f(x))^2=f(x)\times f(x)\to a\times a=a^2$ و بعد با استقرا برای توان $n$ هم ثابت می شود.)

• اگر $f(x)\to b$ در اینصورت $\sqrt[n]{f(x)}\to \sqrt[n]a$ زیرا ترکیب توابع $\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}=\sqrt[n]b$

• برای قدر مطلق هم باز هم ترکیب توابع قدرمطلق و $f(x)$ است لذا $\lim_{x\to a}|f(x)|=|\lim_{x\to a}f(x)|$

• برای توابع $\lfloor f(x)\rfloor$ چون جزصحیح در نقاط صحیح پیوسته نیست پس نمی توانیم از نکته که گفته شد استفاده کنیم. باید ببینیم وقتی که $x\to a$ تابع $f(x)$ به سمت چه عددی میل می کند. چنانچه به سمت یک عدد صحیح $k$ میل کند باید از دو طرف ببینیم $f(x)\to k^+$ یا $f(x)\to k^-$ و با توجه به هر شرایطی جواب میتونه متفاوت باشه.

• برای $f(x)^{g(x)}$ میتونه حالات مختلفی پیش بیاد. از جمله $0^0$ و $1^\infty$ و $\infty^0$ حالات مبهم هستند(اینجا رو ببینید http://math.irancircle.com/3952 )

در این حالت میتونید $f(x)^{g(x)}$ رو به صورت $e^{f(x)\ln g(x)}$ بنویسید.

• $\log_{g(x)}f(x)=\frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}$ بنابراین باید $f(x), g(x) > 0$ باشند. و سپس می تونید از ترکیب توابع استفاده کنید. اگر $f(x)\to a> 0$ و $g(x)\to b> 0$ و $l\neq 1$ در اینصورت $\ln f(x)\to \ln a> 0$ و $\ln g(x)\to \ln b$ .

• توابع $\sin $ و $\cos$ توابعی پیوسته هستند لذا $\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$ و $\lim-{x\to a}\cos x=\cos a$

• تابع $\tan$ به جز در نقاط به صورت $k\pi\pm \frac{\pi}2$ پیوسته بوده و بنابراین $\lim_{x\to a}\tan x=\tan a$ اما در نقاطی که پیوسته نیست یعنی $ k\pi\pm \frac{\pi}2$ تانژانت ممکن اس به $\infty$ یا $-\infty$ میل کند.

در مورد $\cot x$ هم به طور مشابه. روی دامنه اش پیوسته است اما در نقاط به صورت $k\pi\quad k\in\mathbb Z$ که جزو دامنه نیستند ممکن است به $+\infty$ یا $-\infty$ میل کند.

و $\cot$ به جز در نقاط