به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,006 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

چگونه ميتواتن در محاسبه حد از هم ارزي كمك گرفت؟

مثلا:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan2x-sin2x}{sin2x. tan^{2}x } $$

در اينجا :

$tan2x$

$sin2x$

$ tan^{2} x$

$tan2x-sin2x$

$sin2x. tan^{2} x$

آيا ميتوان هم ارز هر كدام رو به جاي تابع هايي كه در بالا فهرست كردم رو نوشت .؟

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط farshchian2090

بله میتوان گذاشت فقط باید توجه داشته باشید که هم ارزی شما جمع جبری عبارات در صورت و مخرج را صفر نکند اگر صفر کرد شما از هم ارزی مرتبه بالاتر یا اصطلاحا هم ارزی قوی تر استفاده کنید مثلا در همین حد هم ارزی زیر اشتباه هست :

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x-2x}{2x.x^2} $$ اما اگر هم ارزی تا مرتبه دو را برای هم سینوس وهم تانژانت بنویسیم داریم : $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2x+8x^3/3)-(2x-8x^3/6)}{2x.x^2}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac {24x^3/6}{2x^3}=2 $$

دقت کنید که اگر در صورت یا مخرج برای یک عبارت از هم ارزی درجه 2 استفاده میکنید برای تمام عبارات دیگر در صورت یا مخرج (نه هر دو) باید از هم ارزی مرتبه 2 استفاده کنید. در این مثال ما تنها در صورت از هم ارزی قوی استفاده کردیم ولی در مخرج از هم ارزی مرتبه اول استفاده کرده ایم .

توسط
+2
@farshchian2090
خيلي ممنون
علت اين تذكر چيه:
 اگر در صورت یا مخرج برای یک عبارت از هم ارزی درجه 2 استفاده میکنید برای تمام عبارات دیگر در صورت یا مخرج (نه هر دو) باید از هم ارزی مرتبه 2 استفاده کنید.
توسط
+2
@farshchian2090
ايا ميتوان دو تابع كه باهم جمع يا تفريق شده اند
از هم ارزي يكيشون استفاده كرد.!!
توسط
+2
@farshchian2090
و اينكه اگرهم ارز دوتابع  داشته باشيم و دوتابع جمع يا تفريق شده بودن آيا براي تابع هم ارز كلي
بايد هم ارزشونو جمع يا تفريق كرد
توسط farshchian2090
منظورم از "نه هر دو" این بود که نیازی به اعمال هم ارزی قوی برای مخرج و صورت باهم نیست و فقط هم ارزی قوی باید تنها برای عباراتی که باهم جمع یا تفریق میشوند به کار رود و همگی هم از یک مرتبه باشند ولی اگر عبارتی در آنها ضرب شده بود یا تقسیم شده بود نیاز نیست برای انها هم از همان هم ارزی یعنی هم ارزی مرتبه بالاتر استفاده کنید مگر اینکه لازم شود یعنی اون عبارتی که ضرب شده یا تقسیم با هم ارزی معمولی جمع جبری عباراتش صفر شود .
توسط farshchian2090
+1
برای سوالی که فرمودید برای جمع یا تفریق  دوتابع آیا میشه فقط از هم ارزی یکیشون استفده کرد ؟؟
پاسخ اینه که خیر برای تمام توابعی که با هم جمع یا تفریق شده اند باید و باید از هم ارزشون استفاده کنیم و هیچ کدام رو نمیتوان خودش رو نوشت و باید حتما هم ارز اونها نوشته بشه .

هم چنین در مورد اون سوال که فرمودید دلیل این تذکر چیه ؟؟ دلیلش اینه که وقتی تعدادی تابع با هم جمع یا تفریق شده اند اگر شما بخواهید از بسط تیلور برای محاسبه هم ارزی اونها استفاده کنید در نظر بگیرید f(x) =f1(x) +f2(x)+...fn(x) که در آن fi ها همان توابعی هستند که باهم جمع و تفریق شده اند و ما مجموع همه آنها را به صورت یک تابع یعنی f در نظر گرفته ایم حال با استفاده از بسط تیلور برای محاسبه هم ارزی میدانیم که باید تا مرتبه ای پیش برویم که هم ارز f صفر نباشد و لذا اگر به ازای مرتبه k از بسط تیلور هم ارز f صفر نشده پس در حقیقت ما برای همه توابع f1,f2,...,fn  هم ارزی مرتبه k یعنی هم ارزی از یک مرتبه یکسان را به کار برده ایم . پس همانطور که دقت میکنید فقط در جمع یا تفریق توابع از هم ارزی و آن هم از یک مرتبه برای همه آنها استفاده کرده ایم .
+1 امتیاز
توسط fardina

چیزی که تحت عنوان هم ارزی خوندید به نظرم منظور استفاده از بسط تیلور (اینجا را ببینید و یا اینجا)آن تابع برای به دست آوردن حد است.

به عنوان مثال برای به دست آوردن حد تابع $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x$ چنانچه بسط مک لورن $\sin x$ حول $x=0$ را بنویسیم داریم: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...}{x}\\ =\lim_{x\to 0}1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...=1$$

در مثال شما با استفاده از بسط های زیر حول مبدا: $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\\ \tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+...$$ داریم:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x-\sin 2x}{\sin 2x\tan^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{(2x+\frac{8x^3}3+\frac{64x^5}{15}+...)-(2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}-...)}{(2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}-...)(x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+...)^2}\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{24x^3}{6}+Ax^5+Bx^7...}{2x^3+Cx^4+Dx^5+...}$$ که در آن $A, B, C, D$ ضرایبی هستند که پس از تفریق یا ضرب سریها در جملات متشابه حاصل می شود(حساب نکردم چون در به دست آوردن حد تاثیری ندارد)

$$\require{cancel} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{24x^3}{6}+Ax^5+Bx^7...}{2x^3+Cx^4+Dx^5+...}=\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x^3}(4+Ax^2+Bx^4+...)}{\cancel{x^3}(2+Cx+Dx^2+...)}=\frac 42=2 $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...