چیزی که تحت عنوان هم ارزی خوندید به نظرم منظور استفاده از بسط تیلور (اینجا را ببینید و یا اینجا)آن تابع برای به دست آوردن حد است.
به عنوان مثال برای به دست آوردن حد تابع $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x$ چنانچه بسط مک لورن $\sin x$ حول $x=0$ را بنویسیم داریم:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...}{x}\\
=\lim_{x\to 0}1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...=1$$
در مثال شما با استفاده از بسط های زیر حول مبدا:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\\
\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+...$$
داریم:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x-\sin 2x}{\sin 2x\tan^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{(2x+\frac{8x^3}3+\frac{64x^5}{15}+...)-(2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}-...)}{(2x-\frac{8x^3}{3!}+\frac{32x^5}{5!}-...)(x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+...)^2}\\
=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{24x^3}{6}+Ax^5+Bx^7...}{2x^3+Cx^4+Dx^5+...}$$
که در آن $A, B, C, D$ ضرایبی هستند که پس از تفریق یا ضرب سریها در جملات متشابه حاصل می شود(حساب نکردم چون در به دست آوردن حد تاثیری ندارد)
$$\require{cancel} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{24x^3}{6}+Ax^5+Bx^7...}{2x^3+Cx^4+Dx^5+...}=\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x^3}(4+Ax^2+Bx^4+...)}{\cancel{x^3}(2+Cx+Dx^2+...)}=\frac 42=2 $$
