Question

تابع هايي كه عبارت قدر مطلقي و جزءصحيح دارند چگونه ميتوان حد گرفت با علت .خيلي ممنون

Answer 1

برای قدرمطلق باید تعریف قدرمطلق رو به یاد داشته باشید. $$|x|=\begin{cases}x&x\geq 0\ -x&x< 0\end{cases}$$ پس در حدهایی مثل $\lim_{x\to a}|f(x)|$ باید حدود چپ و راست $\lim_{x\to a^+}|f(x)|$ و $\lim_{x\to a^-}|f(x)|$ را به دست آوریم. و برای هر کدام باید بررسی کنیم که در آن قسمت تابع داخل قدرمطلق مثبت است یا منفی تا آن را از قدرمطلق بیرون آوریم.

به عنوان مثال برای $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ می دانیم که برای $x> 1$ داریم $x-1> 0$ پس بنابر تعریف قدرمطلق برای $x> 1$ داریم $|x-1|=x-1$ پس $$\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{x-1}=1$$

از طرفی برای $x< 1$ داریم $x-1< 0$ پس برای $x< 1$ نتیجه می شود $|x-1|=-(x-1)$ پس

$$\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$$

برای حدهای شامل جزصحیح به صورت $\lim_{x\to a}\lfloor f(x)\rfloor$ باید حد را از دو طرف چپ و راست بررسی کنیم و ببینیم به ازای هر کدام تابع $f(x)$ بین دو مقدار صحیح متوالی قرار می گیرد.

به عنوان مثال $\lim_{x\to \sqrt 2}\lfloor x^2\rfloor$ را در نظر بگیرید.

اگر $x\to \sqrt2^+$ در اینصورت $2< x$ اما چون $x$ به سمت $\sqrt 2$ میل می کند پس می توانیم فرض کنیم $\sqrt 2< x< \sqrt 3$ پس $2< x^2< 3$ بنابراین $\lim_{x\to \sqrt 2^+}\lfloor x^2\rfloor =2$

و اگر $x\to \sqrt 2^-$ می توانیم فرض کنیم $1< x< \sqrt 2$ که داریم $1< x^2< 2$ بنابراین $\lim_{x\to \sqrt 2^-}\lfloor x^2\rfloor =1$ .