بیان دقیق تعریف انقباض جبری

Question

تعریف: فرض کنیم ‎$ B $‎ یک ‎$ K $-‎جبر و ‎$ A $‎ یک ‎$ K $-‎زیرجبر از ‎$ B $‎ باشد. در این صورت، ‎$ A $‎ را یک انقباض جبری‎ ‎$ B $‎ گوییم، هرگاه یک همریختی پوشا بین ‎$ K $-‎جبرها موجود باشد، مانند ‎$ \pi:B\longrightarrow A $‎، به طوری که ‎$ \pi \circ j={\rm id}_{A} $‎، که در آن، ‎$ j‎: ‎A\hookrightarrow B $‎

نگاشت شمول و ‎${\rm id}_{A} $‎ نگاشت همانی می‌باشد.

میشه یک مثال برای این تعریف بیاورید تا مفهوم آن را بهتر متوجه بشوم. ممنون

Answer 1

$k$ را یک میدان بردارید و $B$ و $A$ و $\pi$ را به شکل زیر تعریف کنید، روشن است که $B$ یک $k$-جبر، $A$ یک زیر $k$-جبر از $B$ و $\pi$ یک $k$-همریختی جبری پوشا از $B$ به $A$ می‌شود که ترکیبش با شمول به شکل $\pi\circ j$ برابر با همانیِ روی $A$ می‌شود. پس $A$ یک انقباض جبری از $B$ می‌شود. $$\begin{array}{l}B:=\dfrac{k[x]}{\langle x^2\rangle}=\{ax+b|a,b\in k\}\\ A:=\{ax+b\in B|a=0\}\\ \left\{\begin{array}{lrll}\pi: & B & \longrightarrow & A\\ & ax+b & \longmapsto & b\end{array}\right.\end{array}$$