داریم $p|n^3-1$ و $n|p-1$. از اولی داریم:
$$p|(n-1)(n^2+n+1)$$
چون $p$ عددی اول است.باید حداقل یکی از پرانتز ها را بشمارد. اگر $p|n-1$ داریم:
$$p|n-1 , n|p-1 \Rightarrow p \leq n-1 , n \leq p-1$$
با جمع دو رابطه ی بالا داریم $0 \leq -2$ که تناقض است. پس $p|n^2+n+1$. حال داریم:
$$p|n^2+n+1 \Rightarrow pt=n^2+n+1\tag{1}$$
$$n|p-1 \Rightarrow nk=p-1 \Rightarrow p=nk+1\tag{2}$$
با ضرب عبارت دوم در $t$ داریم:
$$(2) \times t \Rightarrow t(nk+1)=pt = n^2+n+1$$
$$ \Rightarrow t \overset{n}{\equiv}\; 1\tag3$$
حال اگر $t \geq n+1$ چون $(n|p-1\Rightarrow p \geq n+1)$ با ضرب دو نامساوی داریم $pt \geq n^2+2n+1$ و با مقایسه با معادله ی $(1)$ داریم:
$$n^2+n+1=pt \geq n^2+2n+1 \Rightarrow 0 \geq n$$
که تناقض است. پس $t \leq n$ و از رابطه ی $(3)$ داریم $t=1$. اکنون با بازنویسی معادله ی $(1)$ داریم:
$$p=n^2+n+1 \Rightarrow 4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$
حکم ثابت شد.
