به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
68 بازدید
در دانشگاه توسط kolge

اگر که n عددی طبیعی و بزگتر از 1 باشد و p عددی اول باشد و p-1 بر n بخش پذیر باشد و n^3-1 بر p بخش پذیر باشد ثابت کنید که 4p-3 مربع کامل است

مرجع: گسسته 12م

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Mahdimoro

داریم $p|n^3-1$ و $n|p-1$. از اولی داریم: $$p|(n-1)(n^2+n+1)$$ چون $p$ عددی اول است.باید حداقل یکی از پرانتز ها را بشمارد. اگر $p|n-1$ داریم: $$p|n-1 , n|p-1 \Rightarrow p \leq n-1 , n \leq p-1$$ با جمع دو رابطه ی بالا داریم $0 \leq -2$ که تناقض است. پس $p|n^2+n+1$. حال داریم: $$p|n^2+n+1 \Rightarrow pt=n^2+n+1\tag{1}$$ $$n|p-1 \Rightarrow nk=p-1 \Rightarrow p=nk+1\tag{2}$$ با ضرب عبارت دوم در $t$ داریم: $$(2) \times t \Rightarrow t(nk+1)=pt = n^2+n+1$$ $$ \Rightarrow t \overset{n}{\equiv}\; 1\tag3$$ حال اگر $t \geq n+1$ چون $(n|p-1\Rightarrow p \geq n+1)$ با ضرب دو نامساوی داریم $pt \geq n^2+2n+1$ و با مقایسه با معادله ی $(1)$ داریم: $$n^2+n+1=pt \geq n^2+2n+1 \Rightarrow 0 \geq n$$ که تناقض است. پس $t \leq n$ و از رابطه ی $(3)$ داریم $t=1$. اکنون با بازنویسی معادله ی $(1)$ داریم: $$p=n^2+n+1 \Rightarrow 4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ حکم ثابت شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...