به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
102 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط badansaz
ویرایش شده توسط AmirHosein

تعداد اعداد چهار رقمی که در آن‌ ها هر رقم از رقم سمت چپ خود بزرگتر نباشد چه‌ قدر است ؟ ((این پرسش اگر اشتباه نکنم مربوط به ترکیبیات است))

3 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Mahdimoro

توجه کنید که اگر ۴ رقم داشته باشیم و بخواهیم یک عدد چهار رقمی با شرایط سوال بسازیم به یک طریق میتوانیم این کار را انجام دهیم. پس میتوانیم تعداد حالات انتخاب ۴ رقم را حساب کنیم. برای این کار ۵ حالت وجود دارد:

الف) هر چهار رقم متمایز باشند: در این مورد $ \binom{10}{4} $ حالت وجود دارد.

ب) دو رقم شبیه به هم و دو رقم متمایز باشند(مانند ۴و۴و۶و۱): در این مورد $ \binom{10}{3} \times \binom{3}{1} $ حالت وجود دارد.

پ)دو رقم شبیه به هم و دو رقم دیگر نیز شبیه به هم باشند(مانند ۲و۲و۷و۷): در این مورد $ \binom{10}{2} $ حالت وجود دارد.

ت) سه رقم شبیه به هم باشند: در این مورد $ \binom{10}{2} \times \binom{2}{1} $ حالت وجود دارد.

ث) هر چهار رقم شبیه به هم باشند: در این مورد ۹ حالت وجود دارد.


پس جواب برابر است با: $$ \binom{10}{4} +3 \times \binom{10}{3} + \binom{10}{2} +2 \times \binom{10}{2} + 9$$

0 امتیاز
توسط salar

اگر نمودار درختی رسم کنیم مشخص میشود

$$ \sum_{a=1}^9 [ \sum_{b=1}^{a+1} ( \sum_{c=1}^b c ) ] $$
0 امتیاز
توسط AmirHosein

عدد چهاررقمی‌تان را به شکل $\overline{abcd}$ نمایش دهید. آنگاه $d$ هر رقمی بین و شامل ۰ تا ۹ می‌تواند باشد، $c$ از خود مقدارِ $d$ تا ۹ می‌تواند باشد، $b$ از خود $c$ تا ۹ و $a$ از خود $b$ تا ۹. اما باید یک حالت را کم کنید که آن حالتی است که هر چهار رقم تکراری ۲فر انتخاب شوند. پس شما تعداد اعضای مجموعهٔ زیر را می‌خواهید؛ $$\lbrace (a,b,c,d)\in\mathbb{Z}^4\mid 0\leq d\leq 9,\; d\leq c\leq 9,\; c\leq b\leq 9,\; b\leq a\leq 9\rbrace -\lbrace (0,0,0,0)\rbrace$$ برای بدست آوردن مقدار آن توسط $\Sigma$ کافیست به ازای هر انتخاب قابل‌قبول یک واحد بشمارید و سپس یک حالت نخواسته‌شده را کم کنید. یعنی $$\sum_{d=0}^9\Big(\sum_{c=d}^9\big(\sum_{b=c}^9(\sum_{a=b}^91)\big)\Big)-1$$ حاصل شمارش اعضای مجموعهٔ نخست و همینطور جمع بعدی که با شمردن تک‌به‌تک فرقی ندارد (ولی می‌توانید از فرمول‌هایی که در جبر و احتمال بوسیلهٔ استقرای ریاضی ثابت می‌کردید استفاده کنید) بوسیلهٔ Maple در زیر آمده‌است؛ ۷۱۴.

توسط salar
–1
اینگونه که شما حساب کردین $0011$ هم عدد $4$ رقمی محسوب میشه.
توسط salar
–1
$0$ را حذف کردین ولی در مورد اعداد $1$ و $2$ و $3$ رقمی هیچ شرطی در نظر نگرفتین.
توسط AmirHosein
@salar متن را از نو بخوانید. در ۰۰۱۱، $b$ بینِ $c=1$ تا ۹ قرار ندارد! و همچنین دیدگاه بعدی‌تان نیز اگر متن را بادقت می‌خواندید به دلیل مشابه رُخ نمی‌دهد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...