تعداد اعداد چهار رقمی که هر رقم از رقم سمت چپش کمتر یا مساوی باشد.

Question

تعداد اعداد چهار رقمی که در آن‌ ها هر رقم از رقم سمت چپ خود بزرگتر نباشد چه‌ قدر است ؟ ((این پرسش اگر اشتباه نکنم مربوط به ترکیبیات است))

Answer 1

توجه کنید که اگر ۴ رقم داشته باشیم و بخواهیم یک عدد چهار رقمی با شرایط سوال بسازیم به یک طریق میتوانیم این کار را انجام دهیم. پس میتوانیم تعداد حالات انتخاب ۴ رقم را حساب کنیم. برای این کار ۵ حالت وجود دارد:

الف) هر چهار رقم متمایز باشند: در این مورد $ \binom{10}{4} $ حالت وجود دارد.

ب) دو رقم شبیه به هم و دو رقم متمایز باشند(مانند ۴و۴و۶و۱): در این مورد $ \binom{10}{3} \times \binom{3}{1} $ حالت وجود دارد.

پ)دو رقم شبیه به هم و دو رقم دیگر نیز شبیه به هم باشند(مانند ۲و۲و۷و۷): در این مورد $ \binom{10}{2} $ حالت وجود دارد.

ت) سه رقم شبیه به هم باشند: در این مورد $ \binom{10}{2} \times \binom{2}{1} $ حالت وجود دارد.

ث) هر چهار رقم شبیه به هم باشند: در این مورد ۹ حالت وجود دارد.

---

پس جواب برابر است با: $$ \binom{10}{4} +3 \times \binom{10}{3} + \binom{10}{2} +2 \times \binom{10}{2} + 9$$

Answer 2

اگر نمودار درختی رسم کنیم مشخص میشود

$$ \sum_{a=1}^9 [ \sum_{b=1}^{a+1} ( \sum_{c=1}^b c ) ] $$

Answer 3

عدد چهاررقمی‌تان را به شکل $\overline{abcd}$ نمایش دهید. آنگاه $d$ هر رقمی بین و شامل ۰ تا ۹ می‌تواند باشد، $c$ از خود مقدارِ $d$ تا ۹ می‌تواند باشد، $b$ از خود $c$ تا ۹ و $a$ از خود $b$ تا ۹. اما باید یک حالت را کم کنید که آن حالتی است که هر چهار رقم تکراری ۲فر انتخاب شوند. پس شما تعداد اعضای مجموعهٔ زیر را می‌خواهید؛ $$\lbrace (a,b,c,d)\in\mathbb{Z}^4\mid 0\leq d\leq 9,\; d\leq c\leq 9,\; c\leq b\leq 9,\; b\leq a\leq 9\rbrace -\lbrace (0,0,0,0)\rbrace$$ برای بدست آوردن مقدار آن توسط $\Sigma$ کافیست به ازای هر انتخاب قابل‌قبول یک واحد بشمارید و سپس یک حالت نخواسته‌شده را کم کنید. یعنی $$\sum_{d=0}^9\Big(\sum_{c=d}^9\big(\sum_{b=c}^9(\sum_{a=b}^91)\big)\Big)-1$$ حاصل شمارش اعضای مجموعهٔ نخست و همینطور جمع بعدی که با شمردن تک‌به‌تک فرقی ندارد (ولی می‌توانید از فرمول‌هایی که در جبر و احتمال بوسیلهٔ استقرای ریاضی ثابت می‌کردید استفاده کنید) بوسیلهٔ Maple در زیر آمده‌است؛ ۷۱۴.

Comments

اینگونه که شما حساب کردین $0011$ هم عدد $4$ رقمی محسوب میشه.

---

$0$ را حذف کردین ولی در مورد اعداد $1$ و $2$ و $3$ رقمی هیچ شرطی در نظر نگرفتین.

---

@salar متن را از نو بخوانید. در ۰۰۱۱، $b$ بینِ $c=1$ تا ۹ قرار ندارد! و همچنین دیدگاه بعدی‌تان نیز اگر متن را بادقت می‌خواندید به دلیل مشابه رُخ نمی‌دهد.