پرتاب دو تاس با شرایط خاص

Question

در پرتاب یک تاس اگر عدد بزرگتر از $3$ بیاید، مجاز به پرتاب تاس دوم هستیم. احتمال اینکه مجموع دو عدد رو شده کمتر از $8$ شود چقدر است؟

آیا می‌توان این دو پیشامد را مستقل گرفت و جواب را به صورت $\frac{6}{18} \times \frac{1}{3}$ نوشت؟

Answer 1

مجموعه حالاتی که بزرگتر از $3$ بیاید را مجموعه $A$ مینامیم در نتیجه خواهیم داشت : $A=\{4,5,6\}$ و مجموعه حالاتی را که مجموعه دو عدد کمتر از $8$ (در صورتی که پرتاب آن مجاز) باشد را مجموعه $B$ مینامیم که میدانیم $n(B)=6$ حال احتمال انکه پیشامد $B$ و $A$ پشت سر هم اتفاق افتاده باشد برابر خواهد شد با :

$$P(A\cap B)=P_A(B)P(A)=(\frac{6}{18})(\frac{3}{6})$$

حال آیا پیشامد $B$ با پیشامد $A$ مستقل است ؟ برای مستقل بودن باید داشته باشیم :

$$P_A(B)=P(B)$$ که $P(B)=\dfrac{6}{18}$ درنتیجه : $$P_A(B)=\frac{6}{18}= P(B)$$ پس این دو پیشامد مستقل هستند .

Comments

@saderi7  ممنون. به نظر من پاسخ صحیح باید به صورت   $$P(A\cap B)=P_A(B)P(A)=(\frac{6}{18})(\frac{1}{2})$$
باشد.

---

@Under sky
بله درست است .

Answer 2

اگر 4بیایدو سپس یکی ازاعداد3یا2یا1 یا اگر 5 بیاید وسپس یکی ازاعداد2یا1 یا اگر 6 بیاید وسپس عدد1 بیاید مورد مطلوب است به این ترتیب احتمال برابر است با: $P= \frac{1}{6}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{6}$

Answer 3

خیر

چون تاس اول در پرتاب کردن یا نکردن تاس دوم بنا به شرط اگر تاس اول از $3$ بیشتر باشد، تاثیر دارد از هم مستقل نیستند

اگر در هر حالت هر دو تاس پرتاب میشد و احتمال اینکه تاس اول بیشتر از $3$ و تاس دوم مجموعش با تاس اول کمتر از $8$ میبود آنگاه مستقل میشد

وجواب برابر است با:

$$\frac{0}{36}+ \frac{0}{36}+ \frac{0}{36}+ \frac{3}{36}+ \frac{2}{36}+ \frac{1}{36}\\ =\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

چون $0$ ها از تاس دوم نشات میگیرد و دلیل آن تاس اول هست پس دلیل کافی بر مستقل نبودن است

اگر دلیل $0$ ها صرفا نوع انتخاب ما میبود یعنی حالات وجود دارند ولی ما انتخاب نمی کنیم آنگاه مستقل میشد