برای نصب اولین چراغ فقط یک قطعه جاده داریم لذا چراغ را در وسط نصب می کنیم و جاده به دو قسمت تقسیم میشود حال چون طول هر دو قطعه با هم برابر است لذا قطعه نزدیک به زاهدان انتخاب می شود و برای مرحله بعد درسته دو قطعه نزدیک به زاهدان داریم اما قطعه دورتر یعنی طرف مشهد بزرگتر است شرط اول بزرگ بودنه و درصورت تساوی طول قطعه ها نزدیکی به زاهدان ملاک قرار می گیرد.
فاصله ی چراغ $ n$ ام تا زاهدان را با $ a_{n} $ نمایش میدهیم لذا هدف سوال بدست آوردن $ 2^{19}- a_{1001} $ است.
با کمی دقت در نحوه قرار گرفتن $ a_{n} $ها میبینیم نزدیک زاهدان$ a_{ 2^{i} } $ شروع میشود و تا
ا$ a_{ 2^{i+1} } -1$ ادامه می یابد و دوباره نزدیک زاهدان $ a_{ 2^{i+1} } $ شروع می شود و هربار به نسبت $ \frac{1}{2} $ طول قطعه ها کم میشود. لذا فرمول کلی اگر $ n= 2^{k} +t$برابر است با
$$ a_{2^{k} +t} = \frac{2^{19}}{2^{k+1}} \times (2t+1)$$
لذا جواب برابر است با
$$\begin{align}
2^{19}- \frac{2^{19}}{2^{10}} \times (2 \times 489+1)& = 2^{9}(2^{10}-979)=2^{9} \times 45\\
&=512 \times 45=23040
\end{align}$$
